数论学习笔记

线性代数

gcd

利用碾转相除法递归解决

int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

lcm

int lcm(int a,int b){
    return a/gcd(a,b)*b;
} 

mod

模的定义 即整除

对于整数a,b，存在唯一的整数q，r使a=bq+r

性质

• \[\left(a+b\right)\bmod m =\left(a \bmod m+ b \bmod m\right)\bmod m \]

• \[(a-b)\bmod m=(a \bmod m -b \bmod m+m)\bmod m \]

注：前者不一定大于后者，需要加上m避免出现负数

• \[(a*b)\bmod m=(a \bmod m*b \bmod m)\bmod m \]

同余

若 \(x \bmod m=y \bmod m\)，称 \(x\)，\(y\) 模 \(m\) 同余，记
$ x \equiv y \pmod m$。

若$ x \equiv y \pmod m$,则 \(\left|x-y\right| = km\)，\(k\) 为整数，即 \(\left|x-y\right|\) 是 \(m\) 的倍数

逆元：

若 \(a*p \equiv 1 \pmod m\) 则称 \(p\) 为 \(a\) 在模 \(m\) 意义下的乘法逆元。**

费马小定理

若 \(p\) 是指数，且 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，则

\[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]

即

\[a*a^{p-2} \equiv 1 \pmod{p} \]

所以 $a^{p-2} $ 就是 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的逆元。

欧拉定理

设 \(a,n\) 是正整数，若 \(a\) 与 \(n\) 互质，则

\[a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]

当 \(n\) 是质数时，\(\varphi(n)=n-1\)，就是费马小定理。

扩展欧拉定理

设 \(a,n\) 是正整数，有

\[a^{2\varphi(n)} \equiv a^{\varphi(n)} \pmod{n} \]

推论：
对于任意的 \(a,k,n\)，有：

• 如果 \(k < \varphi(n)\)

\[a^{k} \equiv a^{k}\pmod{n} \]

• 如果 \(k\ge \varphi(n)\)

\[a^{k} \equiv a^{k \mod \varphi(n)+\varphi(n)} \pmod{n} \]

P5091 【模板】扩展欧拉定理

裴属定理:

对于整数 \(a\)，\(b\)。设 \(d=gcd(a,b)\),则一定存在一组整数 \(\left(x,y\right)\) 使 \(ax+by=d\)。

不定方程\(ax+by=c\)，当且仅当\(c \equiv 0 \pmod {\gcd(a,b)}\) 即 \(c\) 是\(\gcd(a,b)\) 倍数时有整数解。

P2520向量

算术基本定理

任何大于 \(1\) 的正整数 \(n\) 都可以分唯一分解为有限个质数的乘积：

\[n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}......p_m^{k_m} \]

其中 \(p_i\) 都是质数，\(k_i\) 都是正整数。

\[a*b = \operatorname{lcm}(a,b) *\gcd(a,b) \]

因数个数定理

\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}......p_m^{k_m}\)。 \(p_i\) 是 \(n\) 的因数。

则 \(n\) 的因数个数为

\[\prod_{i=1}^{m}(k_i+1) \]

因为每个因数的范围是 \((k+1)\) 可以等于 \(0\)。

威尔逊定理

若 \(p\) 为质数，则 \(p\) 可以整除 \((p-1)!+1\)

\[(p-1)!=pq+1 \]

\[(p-1)!\mod p = p-1 \]

积性函数

定义

定义在所有正整数上的函数为算数函数或数论函数。

如果算术函数 \(f\) 对任意两个互质的正整数 \(p\) 和 \(q\) 均有 \(f(pq)=f(p)f(q)\)，称为积性函数。

如果对于任意两个正整数 \(p\) 和 \(q\) 均有 \(f(pq)=f(p)f(q)\)，称为完全积性函数。

性质

积性函数的和函数也是积性函数，如果 \(f\) 是积性函数，那么 \(f\) 的和函数 \(F(n)=\sum_{d \mid n}f(d)\) 也是积性函数。

\(d \mid n\) 表示 \(d\) 整除 \(n\)，即 \(n \mod d =0\)。

• 欧拉函数

$\varphi (n)= 1 \sim n $ 中与 \(n\) 互质的数的个数。

• 最大公因数

\(\gcd_k(n)=gcd(n,k)\)

• 莫比乌斯函数

\[\mu =\begin{cases}1, n=1 \\(-1)^k，n=p_1p_2..p_k，k 为 n 的质因子个数 \\0，n有平方因子\end{cases} \]

欧拉函数

定义：

\[\varphi(n)= \prod_{i=1}^{n} gcd(i,n)=1 \]

性质：

\[n=\sum_{d\mid n}\varphi(d) \]

递推式：

\[\varphi(n) = n* \prod(1- \frac{1}{p_i}) \]

\(p_i\) 为 \(n\) 的每一个除 \(1\) 和他自身的质因数。

证明：

因为 \(\varphi\) 为积性函数，即：

\[n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}......p_m^{k_m} \]

\[\varphi(n)=\varphi( \prod_{i=1}^{t}p_{i}^{k}) \]

那么只要考虑 \(\varphi(p^k)\) 的取值就好了。
因为 \(p\)是质数， \(1\sim p^k\) 中 \(p\) 的倍数的个数就等于与 \(p\) 不互质的个数，即 \(\frac{p^k}{p} =p^{k-1}\)，则与 \(p\) 互质的个数就是 \(p^k-p^{k-1}=p^{k}*(1-\frac{1}{p})\)。

那么就得出 \(\varphi(p^k)=p^k*(1-\frac{1}{p})\)

所以就得出：

\[\varphi(n) = n* \prod(1- \frac{1}{p_i}) \]

线性欧拉筛

\[\varphi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})……*(1-\frac{1}{p_k}) \]

根据欧拉筛筛质数的方法，双层枚举。分两种情况讨论。

求 \(n*p\) 的值

• \(n \mod p==0\) 即 \(n\) 与 \(p\) 不互质， \(p\) 是 \(n\) 的一个质因子。

假设将 \(n\) 分解成

\[p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}......p_m^{k_m} \]

假设 \(p==p_1\)，则 \(n*p\) 分解成

\[p_1^{k_1+1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}......p_m^{k_m} \]

利用欧拉函数的计算公式

\[φ(n*p)=p_1n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})……*(1-\frac{1}{p_k}) \]

即 \(φ(n*p)=φ(n) * p\)

• \(n \mod p \ne 0\) 即 \(n\) 与 \(p\) 互质，根据积性函数定义 $φ(np)=φ(n)φ(p) $

莫比乌斯函数

定义：

\[\mu =\begin{cases}1, n=1 \\(-1)^k，n=p_1p_2..p_k，k 为 n 的质因子个数 \\0，n有平方因子\end{cases} \]

性质：

• \[\sum_{d \mid n}\mu(d)=[n=1] \]

• \[\sum_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n} \]

定理,莫比乌斯的和函数在整数 \(n\) 处的值 \(F(n)\)

\[F(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d)= \begin{cases}1,n=1\\0,n>1\end{cases} \]

莫比乌斯函数同样可以线性筛出。

实用技巧：

• \[\sum_{d\mid \gcd(i,j)}\mu(d) =\left[\gcd(i,j) =1\right ] \]

推一些式子：

\[\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[\gcd(i,j)=1] \]

这里

\[\sum_{k=1}^{\min(a,b)} \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[\gcd(i,j)=k] (k\in prime) \]

这里

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j)^k \]

这里

莫比乌斯反演

对于一个算术函数 \(f(n)\)，它的和函数满足 \(F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\)，则

\[f(n)=\sum_{d \mid n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

另一种形式

若：

\[F(n)=\sum_{n\mid d}f(d) \]

则：

\[f(n)=\sum_{n \mid d}μ(\frac{d}{n})F(d) \]

P2257 YY的GCD

狄利克雷卷积

\[(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(\frac{n}{d})g(d) \]

三个常用函数：

• 元函数

\[\varepsilon(n)=[n=1] \]

• 常数函数

\[1(n)=1 \]

• 恒等函数

\[id(n)=n \]

常见卷子关系：

1. \[\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n \Leftrightarrow \varphi*1=id \]

2. \[\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1] \Leftrightarrow \mu*1=\varepsilon \]

3. \[\sum_{d\mid n}\frac{n}{d}\mu(d)=\varphi(n)\Leftrightarrow \mu*id=\varphi \]

杜教筛

杜教筛 \(=\) 狄利克雷卷积 \(+\) 整除分块 \(+\) 线性筛

\[g(1)s(n)=\sum_{i=1}^{n}h(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)s(\left \lfloor \frac{n}{i}\right \rfloor ) \]

证明

P3768 简单的数学题

组合数学

排列数

从 \(n\) 个人中选取 \(m\) 个人，考虑相对顺序，方案数为 \(A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}\)。

组合数

从 \(n\) 个人中选取 \(m\) 个人，不考虑相对顺序，方案数为 \(C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)。

性质

\[\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\binom{n}{j}\binom{n-i}{i-j} \]

\[\sum_{2\mid i}C_{n}^{i}=\sum_{2 \perp i}C_{n}^{i} \]

\[\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}=2^n \]

求组合数取模

因为除法没有取模，可以用逆元取模

• 如果取模确定的话，可以用阶乘预处理求逆元。求逆元可以用费马小定理，\(a\) 在模 \(p\) 意义下得的逆元是 \(a_{}^{p-2}\)，而 \(a_{}^{p-2}\) 可以用快速幂求出。
• 取模不确定。即不能预处理逆元，可以用 \(Lucas\) 定理，通常用于阶乘无法解决的问题。

\(Lucas\)定理

\[C_{n}^{m}\equiv C_{n \bmod p}^{m \bmod p} * C_{\left \lfloor n/p \right \rfloor }^{\left \lfloor m/p \right \rfloor }\pmod p \]

实现方式，递归。

P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理

P5684 [CSP-J2019 江西] 非回文串

容斥原理

$ \left | A_{1}\bigcup A_{2}\bigcup A_{3}...\bigcup A_{n} \right | = \sum_{i=1}^{n}\left | Ai \right | -\sum_{1 \le i<j \le n} \left | A_{i} \bigcap A_{j} \right | +
\sum_{1 \le i< j < k \le n } \left | A_{i} \bigcap A_{j} \bigcap A_{k} \right | - .... +(-1)^{n-1} \left |A_{1} \bigcap A_{2} \bigcap A_{3} \bigcap .... \bigcap A_{n} \right | $

P1450 硬币购物
P2567 幸运数字

二项式反演可以解决下列问题
Another Filling the Grid
P6076 [JSOI2015] 染色问题

P6076 题解

二项式定理

\[\left ( a+b \right ) _{}^{n} = \sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}a_{}^{i}b_{}^{n-i} \]

推论

\[(x+1)^n= \sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^i \]

当 \(x=1\) 时，可以证明：

\[\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}=2^n \]

二项式反演

至少/ \(n\) 个的方案数量，和恰好 \(n\) 个的方案数量。

设 \(f_i\) 表示恰好 \(i\) 个数满足特定结构，\(g_i\) 表示至少 \(i\) 个数满足特定结构。

如果已知 \(f_i\)，根据定义可以得出 \(g_k\) 的通项公式。

\[g_k=\sum_{i=k}^{n} C_{i}^{k} f_i \]

若已知 \(g_k\)，求 \(f_k\)，有以下反演公式。

\[f_k=\sum_{i=k}^{n}C_{i}^{k}(-1)^{i-k}g_i \]

形式二：
此时 \(g_i\) 表示至多。

\[g_n=\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} f_i \Longleftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{n-i}g_i \]

P4859 已经没有什么好害怕的了

错排问题

有一个 \(n\) 个元素的排列，现在使得每一个元素都不在自己原来的位置上，共有多少种排列方式。

上述就是一个典型的错排问题，考虑递推解决，用 \(D_n\) 来表示。

假设原来按照元素 \(1\) 在第 \(1\) 号位置上，元素 \(2\) 在第 \(2\) 号位置上，以此类推。

1. 假设把元素 \(1\) 放在第 \(k\) 个位置上，共有 \(n-1\) 中可能。

2.考虑元素 \(k\) 的位置

• 假设在第 \(1\) 个位置上，那么此时第 \(1\) 个位置和第 \(k\) 个位置上的元素是确定的，对于剩下不确定的 \(n-2\) 个位置来说，保证他们是错排的就好，方案数为 \(D_{n-2}\)。

• 假设不在 \(1\) 个位置上，那么整个序列中只确定了第 \(k\) 个位置上的元素，对于剩下不确定的 \(n-1\) 个元素来说，保证他们是错排的，方案数为 \(D_{n-1}\)。

根据乘法原理，递推公式就是：

\[D_{n}=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) \]

P4071 [SDOI2016] 排列计数 典型的错排题目。

P4921 MtOI2018 情侣？给我烧了！
组合数学好题

隔板法

例：有 \(n\) 个相同的小球，要塞进 \(m\) 个不同的盒子，盒子不能为空，有多少种方案。

假设有 \(10\) 个小球，塞进 \(3\) 个盒子。将小球排成一列，插入 \(3-1\) 个隔板。如下：

$\bullet\bullet \mid \bullet\bullet\bullet\mid \bullet\bullet\bullet\bullet\bullet $

总共分成了 \(3\) 部分，可以当作 \(3\) 个盒子，而小球间有 \(10-1\) 个间隔，在 \(10-1\) 个间隔选取 \(3-1\) 个位置当作隔板，方案为 \(C_{10-1}^{3-1}\)，即此类为题的答案是 \(C_{n-1}^{m-1}\)。

如果允许空盒，可以理解为每个盒子初始就有一个小球，就然后盒子不能为空，即总共 \(n+m\) 个小球，放进 \(m\) 个盒子，不能为空，答案是 \(C_{n+m-1}^{m-1}\)。

P2638 安全系统

隔板法问题

P5505 JSOI201 分特产

一道二项式反演加上隔板法的题

P7322 「PMOI-4」排列变换

P2606 [ZJOI2010] 排列计数

一道思路很绝妙的题目，将排列转化为小根堆，根据乘法原理即可计算。

卡特兰数

初始值$ C_{0}=C_{1}=1$

定义 \(c_{n}= {\textstyle \sum_{i=0}^{n-1}} C_{i}C_{n-1-i}\)

递推公式 $ C_{n}=\frac{4n-2}{n+1} C_{n-1}$

通项公式$ c_{n}=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}=C_{2n}-C_{2n}^{n-1} $

应用：

1. 棋盘问题

一个 \(n\) 行 \(n\) 列的棋盘，从左下角到右上角，一直在对角线右下方走，不穿过主对角线，走法有多少种。

就是通项公式的模型。

2. 括号问题

3. 出栈序列问题

4. 二叉树问题

\(n\) 个节点构成的二叉树，共有多少种情况。

推荐例题

P1044 栈
P1641 生成字符串
P2532 树屋阶梯

第一类斯特林数

表示 \(n\) 个不同的元素，划分为 \(m\) 个非空圆排列中，记作 \(s(n,m)\) 或 \({n \brack m}\)

通项公式

\[{n \brack m}={n-1 \brack m-1}+ (n-1){n-1 \brack m} \]

考虑第 \(n\) 个元素怎么放。

• 如果前 \(n-1\) 个元素占了 \(m-1\) 个圆排列，则第 \(n\) 个元素必须占第 \(m\) 个圆排列，方案数为 \(\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}\)。
• 如果前 \(n-1\) 个元素占了 \(m\) 个圆排列，则第 \(n\) 个元素可以在这 \(n-1\) 个元素中任意一个的左边（或右边），根据乘法原理，方案数为 \((n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}\)。

P4609 [FJOI2016] 建筑师

第二类斯特林数

斯特林数

表示 \(n\) 个不同的球放进 \(m\) 个相同的非空盒子的方案数，记作 \(S(n,m)\) 或 \({n \brace m}\)。

递推式

\[{n \brace m} = {n-1 \brace m-1}+m{n-1 \brace m} \]

递推式求解思路与第一类斯特林数相似，不再多说。

求解通项公式

设将 \(n\) 个不同的元素，最多放入 \(m\) 个集合中（即放入 \(m\) 个元素中，允许空集）的方案数为 \(G_m\)。设将 \(n\) 个不同的元素，恰好放入 \(m\) 个集合中（即不允许空集）的方案数为 \(F_m\)。

易知：

\[G_m=m^n \]

考虑用 \(F_m\) 表示 \(G_m\)。

\[G_m= \sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i}F_i \]

根据反演公式，表示出 \(F_m\)

\[F_m=\sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\binom{m}{i}G_i \]

\[F_m=\sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\binom{m}{i}i^n \]

\[F_m=\sum_{i=0}^{m}\frac{m!(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)！} \]

由于第二类斯特林数表示的是相同的盒子，那么就有 \(F_m={n\brace m}m!\)，则。

\[{n \brace m}=\sum_{i=0}^{m}\frac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)！} \]

性质推论

\[n^k=\sum_{i=0}^{k}{k \brace i }\binom{n}{i}i! \]

\(n>k\)

置换群

置换的合成运算不满足交换律

\(Burnside\) 定理

设 \(G\) 是 \(S\) 的置换群， \(f\) 是 \(G\) 的一个置换，设 \(\lambda(f)\) 为置换 \(f\) 中不变元的个数，则置换群 \(G\) 的不等价类数为：

\[\frac{\sum_{f\in G} \lambda(f)}{\left | G \right | } \]

生成函数

通过代数手段解决组合技术问题。把组合问题的加法与幂级数的乘幂对应起来。

• 普通型生成函数：

对于序列 \(S\) $h_0,h_1,h2,\cdots $ 构造函数 \(g(x)=h_0+h_1x+h_2x^2 \cdots\)，称 \(g(x)\) 为序列 \(S\) 的母函数。

处理组合数

• 指数型生成函数：

对于序列 \(S\) $h_0,h_1,h2,\cdots $ 构造函数 \(g(x)=h_0+\frac{h_1}{1!}x+\frac{h_2}{2!}x^2+\frac{h_3}{3!} \cdots\)，称 \(g(x)\) 为序列 \(S\) 的母函数。

仅仅多了对分母 \(k!\) 的处理，用于处理排列数。

概率与统计

概率模型

• 古典模型 各个基本事件出现的概率相等的情形。

• 几何概型 基本事件有无数个，任何单个基本时间的发生概率都是0，求几何概型的问题用数形结合方式。

• 条件概率 在 \(B\)事件发生的前提下，\(A\) 事件发生的概率 记为 $P\left( A \mid B\right) = $

贝叶斯公式

\[P\left ( A\mid B \right ) =\frac{P\left ( A\bigcap B \right ) }{P\left ( B \right ) }=\frac{P\left ( B \mid A \right ) P\left ( A \right ) }{P\left ( B \right ) } \]

期望

期望是试验中每次可能的结果乘以其结果的概率的总和， 即随机变量的输出值的加权平均数。用 \(X\) 表示随机变量， \(E\left( X \right)\) 表示期望。

P1654 OUS

概率分布

设成功的概率是 \(p\) 。

• 两点分布，又称伯努利分布，试验只有成果失败两种可能，即 \(1\) 或 \(0\)。\(E\left(X\right) = p *1 +\left(1-p\right)*0=p\)。
• 几何分布。在伯努利试验中，进行了 \(k\)次试验，第 \(k\) 次才成功的概率是 \(P\left(X=k\right)=\left(1-p\right)^{k-1}p\) 期望是 \(E\left(X\right)= \frac{1}{p}\)。
• 二项分布 。进行 \(n\) 次伯努利试验，成功 \(k\) 次。概率是 $P\left ( X=k \right ) =C_{n}^{k}p_{}\left ( 1-p \right )^{n-k} $ 。 期望是 \(E\left ( X \right )=np\)。
• 超几何分布，描述抽样不放回。 有 \(N\) 个产品，其中 \(K\) 个不合格， 抽出 \(n\) 个样品检验，抽样中有多个个不合格。设有 \(k\) 个不合格 概率是 $P\left ( X=k \right ) =\frac{C_{K}^{k} C_{N-K}^{n-k} }{C_{N}^{n}} $ 期望是 \(E\left ( X \right ) = n\frac{K}{N}\)。

线性代数

矩阵乘法

\[ BA =\begin{bmatrix} a& b \\c &d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e&f \\g &h \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ae+bg&af+bh \\ ce+dg&cf+dh \end{bmatrix}\]

矩阵乘法的实质是将一个矩阵分成两个基向量，这两个基向量构成了矩阵，然后分别将两个基向量进行矩阵变换。

注意：矩阵乘法满足结合律，因此可以进行快速幂，但是不满足交换律， 需要注意顺序，矩阵乘法是从右往左读的，将右边的拆开乘。

扩展， 对于 \(L\) 维的矩阵也可以计算。
计算 \(L\) 维的矩阵 \(C=AB\).

\[C_{i,j}=\sum_{k=1}^{L}A_{i,k}B_{k,j} \]

实现方式：一般用构造结构体+重载运算符的方法定义

注意事项

• 矩阵快速幂的题通常不适合难，需要找到至少两个变量之间的线性关系，通过矩阵构造出来。
• 同时注意矩阵初始化。
• 用快速幂时，注意判断大于0。
  例题

P4838 P哥破解密码
P4910 帕秋莉的手环

行列式

行列式 对于一个 \(n*n\) 的矩阵，其 \(n\) 阶行列式的值为 \(det(A)\) 或 \(\left|A\right|\)。定义为：

\[det(A)=\sum_{p}(-1)^{T(p)}\prod_{i=1}^{n} a_{i},{p_{i}} \]

\(p\) 表示一个排列，所有可能的 \(p\) 则是 \(1\) 到 \(n\) 这 \(n\) 个数字的全排列，\(T(p)\) 表示 \(p\) 这个排列中逆序对的个数。

P7112[模板]行列式求值

线性基

线性基是一种擅长处理异或问题的数据结构。

性质

• 原数列里的任何一个数都可以通过线性基里的数异或表示出来。

• 线性基里任意一个子集的异或和都不为 \(0\)。

• 一个数列可能有多个线性基，但是线性基中数的数量一定唯一，而且是满足性质一的基础上最少的。

用途

• 快速查询一个数是否可以被一堆数异或出来
• 快速查询一堆数可以异或出来的最大/最小值
• 快速查询一堆数可以异或出来的第k大值

实现方式

直接构造线性基，或者使用高斯消元求线性基。