线性代数的几何意义笔记

⚡ 线性映射 发生在同一个坐标系->线性变换

数域F上线性空间V中的变换T若满足条件:

T(a+b)=Ta+Tb(a,b∈V)

T(ka)=kTa(k∈F,a∈V)

向量

🗡️ 是什么

不依赖坐标系的既有大小又有方向的量 射出去的箭

🗡️ 几何意义

与点的关系 表示两点的距离 全部移动到原点...

向量加法 平行四边形

向量减法 ...

向量点乘 判断同向反向

向量叉乘 力螺旋 有向面积

与微积分的关系 微元就是向量

矩阵

🗡️ 是什么

一个数表

是线性函数系数, 是"比例函数的推广"

• 非奇异矩阵 行列式!=0

🗡️ 几何意义

• 把一个向量转换为另一个向量 类比比例函数的k 这里的

• 矩阵加法 多个向量相加

• 矩阵乘单位向量 把单位向量缩放旋转

• 矩阵乘向量-> 矩阵乘单位向量相加 三个向量张成的三维空间

• 矩阵乘矩阵 把矩阵分块 ->移动多个向量

• 线性变换 镜像 切变 旋转

• 矩阵的秩(行秩 = 列秩 = 秩)

  • 如果一个3阶矩阵对于球面的变换

    • r = 3 椭球

    • r = 2 椭圆

    • r = 1 线段

• 特征值和特征向量

  • Aα = λα λ就是特征值

  • 一个矩阵对某个向量只伸缩, 不旋转; 🔑 特征值只不过是反应在这个方向伸缩的倍数而已

  • 用特征多项式求|A - λE| = 0

• 可逆->分解为初等矩阵相乘

• 切变

  • 单位矩阵, 其他地方加一个k

🗡️ 对称 实对称矩阵

对称矩阵B点的特征向量刚好是在其图形的主轴上

实对称矩阵, 不同特征空间的任意两个特征向量是正交的

🗡️ 矩阵相似

• 定义: 可逆方阵P A = PBP(-1)

• A到B的过程叫做矩阵的相似变换(猪的不同角度的照片)

  • 也就是说相似矩阵A和B是同一个线性变换再两个不同基下的表示矩阵!!!
  • 基可以理解为坐标系

🗡️ 相似对角化

把个矩阵相似变换到另一个比较简洁的矩阵上去研究这个线性变换

一个矩阵变换一个向量

如果这个矩阵是一个对角矩阵就好了

Ad->^d

🗡️ 矩阵行列式

超平行多面体的 有向面积/体积

伸缩因子

🗡️ 矩阵等价相似合同

🗡️ 逆矩阵

撤销原变换

🗡️ 转置矩阵

定义: 行变列

🗡️ 伴随矩阵

定义: A* A = |A|E

逆矩阵和伴随矩阵只差个常数

🗡️ 正交矩阵

正交: 内积 = 0