一、最小生成树
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
二、克鲁斯卡尔算法介绍
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。
三、克鲁斯卡尔算法图解
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
四、克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。
五、克鲁斯卡尔算法的代码说明
有了前面的算法分析之后，下面我们来查看具体代码。这里选取"邻接矩阵"进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面的源码中会给出相应的源码。
1. 基本定义
1 // 边的结构体 2 class EData 3 { 4 public: 5 char start; // 边的起点 6 char end; // 边的终点 7 int weight; // 边的权重 8 9 public: 10 EData(){} 11 EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){} 12 };
EData是邻接矩阵边对应的结构体。
1 class MatrixUDG { 2 #define MAX 100 3 #define INF (~(0x1<<31)) // 无穷大(即0X7FFFFFFF) 4 private: 5 char mVexs[MAX]; // 顶点集合 6 int mVexNum; // 顶点数 7 int mEdgNum; // 边数 8 int mMatrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵 9 10 public: 11 // 创建图(自己输入数据) 12 MatrixUDG(); 13 // 创建图(用已提供的矩阵) 14 //MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen); 15 MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]); 16 ~MatrixUDG(); 17 18 // 深度优先搜索遍历图 19 void DFS(); 20 // 广度优先搜索（类似于树的层次遍历） 21 void BFS(); 22 // prim最小生成树(从start开始生成最小生成树) 23 void prim(int start); 24 // 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树 25 void kruskal(); 26 // 打印矩阵队列图 27 void print(); 28 29 private: 30 // 读取一个输入字符 31 char readChar(); 32 // 返回ch在mMatrix矩阵中的位置 33 int getPosition(char ch); 34 // 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1 35 int firstVertex(int v); 36 // 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1 37 int nextVertex(int v, int w); 38 // 深度优先搜索遍历图的递归实现 39 void DFS(int i, int *visited); 40 // 获取图中的边 41 EData* getEdges(); 42 // 对边按照权值大小进行排序(由小到大) 43 void sortEdges(EData* edges, int elen); 44 // 获取i的终点 45 int getEnd(int vends[], int i); 46 };
MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。
mVexs用于保存顶点，mVexNum是顶点数，mEdgNum是边数；mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，mMatrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即mVexs[i])"和"顶点j(即mVexs[j])"是邻接点；mMatrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
2. 克鲁斯卡尔算法
1 /* 2 * 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树 3 */ 4 void MatrixUDG::kruskal() 5 { 6 int i,m,n,p1,p2; 7 int length; 8 int index = 0; // rets数组的索引 9 int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。 10 EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边 11 EData *edges; // 图对应的所有边 12 13 // 获取"图中所有的边" 14 edges = getEdges(); 15 // 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大) 16 sortEdges(edges, mEdgNum); 17 18 for (i=0; i<mEdgNum; i++) 19 { 20 p1 = getPosition(edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号 21 p2 = getPosition(edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号 22 23 m = getEnd(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点 24 n = getEnd(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点 25 // 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路 26 if (m != n) 27 { 28 vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n 29 rets[index++] = edges[i]; // 保存结果 30 } 31 } 32 delete[] edges; 33 34 // 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息 35 length = 0; 36 for (i = 0; i < index; i++) 37 length += rets[i].weight; 38 cout << "Kruskal=" << length << ": "; 39 for (i = 0; i < index; i++) 40 cout << "(" << rets[i].start << "," << rets[i].end << ") "; 41 cout << endl; 42 }
