作业题

没活整了，就随便更新点。

• 已知点 \(F(1,0)\) 为抛物线 \(y^2=4x\) 的焦点，过点 \(F\) 的直线交抛物线于 \(A,B\) 两点，点 \(C\) 在抛物线上，使得 \(\triangle ABC\) 的重心 \(G\) 在 \(x\) 轴上，\(AC\) 交 \(x\) 轴于 \(Q\)，且 \(Q\) 在 \(F\) 右侧。记 \(\triangle AFG, \triangle CQG\) 的面积为 \(S_1, S_2\)。求 \(\dfrac{S_1}{S_2}\) 的最小值以及此时 \(G\) 的坐标。

感觉质量很高，死算头都算掉了，远离设直线硬算。

这里给出一个较为自然的切入点。

首先设出直线，直接列出 \(\dfrac{S_1}{S_2}\) 的表达式是不理智的，我们分别过 \(A, C\) 作 \(x\) 轴的垂线，可以发现以 \(FG, GQ\) 为底对应的高之比为 \(\dfrac{AQ}{CQ}\)。

那么所求即为 \(\dfrac{FG \cdot AQ}{GQ \cdot CQ}\)。

之后可以延长 \(CG\) 用梅涅劳斯定理。也可以用向量来做，这里给出向量的做法。

设 \(\vec{AF}=\lambda \vec{AB}\)，\(\vec{AQ}=\mu \vec{AC}\)。

因为 \(G\) 是重心，得到 \(\vec{AG}=\dfrac{1}{3} \vec{AB}+\dfrac{1}{3} \vec{AC}=\dfrac{1}{3\lambda} \vec{AF}+\dfrac{1}{3\mu} \vec{AQ}\)

又因为 \(F, G, Q\) 三点共线，所以 \(\dfrac{1}{3\lambda}+\dfrac{1}{3\mu}=1\)，即 \(\lambda=\dfrac{\mu}{3\mu-1}\)

那么 \(\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\lambda}{\mu} \cdot \dfrac{\mu}{1-\mu}=\dfrac{\mu}{-3{\mu}^2+4\mu-1}=\dfrac{1}{4-(3\mu+\dfrac{1}{\mu})} \geq 1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)。

当且仅当 \(\mu=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 时，等号成立。

之后不难通过焦点弦的性质求出 \(G\)。