一道经典数学题及其周边问题

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题目：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1290

切球形蛋糕，N刀最多切多少块的问题。

 

先来看下其周边的几个简单问题：

1.同一个平面内的N条直线，最多有多少个交点。

2.有一个平面，问N条直线最多可以将这个平面分成几部分。

3.有一个三维空间，问N个平面最多可以将这个空间分成几部分。

 

问题分析：

• 先看第一个问题。

    先看只有少数几条直线的情况：

1. 两条直线如果平行则没有交点，相交则有一个交点
2. 有三条直线l1,l2,l3的时候，l1//l2//l3，则没有交点；l1//l2，l3不平行与l1或者l2，有两个交点；l1与l2不平行时，有一个交点，l3与他们相交，l3的交点数为 2 = n - 1；
3. 四条直线的时候，是三条直线相交的最多交点数＋3。
4. 扩展到n条直线的情况，交点数量为(n-1)条直线的交点数＋第n条直线上的交点数。

    总结方程：

         f(n) = f(n-1)+(n-1)  ================>> f(n) = n*(n-1)/2  , n > 0

•  第二个问题

    利用第一个题的规律，加入第n条直线后，第n条直线上的(n-1)个点讲这条线分为n段，多出来n个面（为了避免重复计算，只算加入的直线一侧的面即可）

    总结方程：

            f(n) = f(n-1)+n , f(0) = 1 , f(1) = 2；=======>> f(n) = n*(n-1)/2+1;

• 第三个问题

    综合前两个问题。假设前（n-1）个面把空间分成了f(n-1)个部分，则加入第n个面后，要达到最多，则必须与前(n-1)个面都相交，则第n个面上会出现(n-1)条交线，把第n个面分成了(n*(n-1)/2+1)个子平面，而每个子平面都可以将空间分为2部分，避免重复计算，只计算一侧的空间数，这样就可以推理得知：

            f(n) = f(n-1) + n*(n-1)/2 + 1  =========>>f(n) = (n*n*n+5*n+6)/6;

 

    切蛋糕问题就是第三个问题的不同叙述而已。