背包问题第四讲——多重背包问题

字号：大 中 小

题目：

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

分析题意：

    个人感觉，这样的问题就是一个变相的完全背包问题，或者干脆就可以转换为0－1背包问题。

    如果转化为完全背包问题，则就是限制了物品数量。原来的方程仍然可以用，不过首先要对n[i]进行规范，因为n[i]必定不大于（V/w[i]）取下整：

           f[i][j][v] = max{f[i-1][n[i-1]][V]，f[i-1][n[i-1]][V-c[i]]+w[i]};

           s.t. 1=< i <=物品数量；

    如果转换为0－1背包问题，就先把n[i]规范下，以减少物品数量，再拆分为相互独立的c,w都相等的物品，然后按照0－1背包的方程求解。

           f[i][v] = max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]};

    转换为0－1背包的时候有局限性，比如当物品过多的时候，就会导致求解时间超时，而且不易存储。