背包问题总结第三讲——完全背包问题

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题目：

    有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路：

    方法有三种：

• 直接转换为O-1背包问题

    虽然物品数量不限，但由于背包容量有限，故物品能装入的最大数量也受到限制，第i种物品最多可以装入n[i] = V/c[i]个，这样就有了两种思路，一是把第i种物品划分为n[i]个等费用等价值的独立物品，然后采用0-1背包的方程即可：

                   f[i][v] = max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}   

二是增加一个变量k对第i种物品加入的数量进行计数：

                   f[i][v] = max{f[i-1][v],f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]}

• 采用二进制思想有限的组合物品

     1、2、5分可以组合任意钱数x，那么把c[i]划分为只适合于自己的k个子集合，就可以大大减少物品数，从而在物品数量上对第一种方法进行优化。

     策略：分成c[i]*2^(k-1)的物品，条件为c[i]*2^(k-1)<=V，外加c[i]*(n[i]-omi(k))，如13可以划分为1，2，4，6

     方程是不变的，只是物品数量少了。

• 直接解

     由于选择有后效性，故方程为：

                       f[i][v] = max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}

• 大师级无敌O(VN)方法

     for i = 1..N

         for v = 0..V

             f[v] = max{f[v],f[v-cost]+weight}

    由于方法太过巧妙，至今我都没有想明白，正在深入研究。 由直接解的方法一维数组实现得到。