背包问题总结第二讲——0-1背包

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题目：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品占用的空间是c[i]，价值是w[i]，物品不可拆分，求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路：

    这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放，不能拆开。

    由于物品是不能拆开的，所以第一讲里边的贪心规则就不再适用了，因为有可能放入物品x后，剩余的空间不够放其他的任何一件物品，则导致空间空闲，从而使其总体上的单位体积的价值降低。

    用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

则其状态转移方程便是：

              f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

    这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

代码：

 

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <memory.h>
#define MAX 100
using namespace std;
//f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

int max(int a,int b)
{
    cout<<"a is "<<a<<endl;
    cout<<"b is "<<b<<endl;
    return a>b?a:b;
}

int main()
{
    int f[MAX][MAX];
    int i,j,k;
    int case_num;
    int n,c[MAX],w[MAX],v;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(i=0 ; i<=MAX ; i++)
    {
        f[0][i] = 0;
        f[i][0] = 0;
    }
    cin>>case_num;
    while(case_num--)
    {
        cin>>v>>n;              //get v of the bag && number n of things
        for(i=1 ; i<=n ; i++)
        {
            cin>>c[i]>>w[i];    
        }
        for(j=1 ; j<=v ; j++)
        {
            for(i=1 ; i<=n ; i++)
            {
                if(j - c[i] < 0)
                {
                    f[i][j] = f[i-1][j];
                }
                else
                {
                    f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);
                }
            }
        }
        cout<<"result is "<<f[n][v]<<endl;
    }
    return 0;
}