P2123 皇后游戏 题解

P2123 皇后游戏
可以说是一种基于微扰证明但关系不具有传递性的贪心。
既然这题像国王游戏就顺着考虑微扰贪心，对于两个大臣 $i,j=i+1$，假设现在的顺序是最优顺序，那么记 $last=c_{i-1},sum=\sum _{k=1}^{i-1}{a}_k$ 有:

$$cos{t}_1=max\{last+b_i,sum+a_i+b_i,sum+a_i+a_j\}+b_j$$

交换 $i,j$ 之后：

$$cos{t}_2=max\{last+b_j,sum+a_j+b_j,sum+a_j+a_i\}+b_i$$

根据假设有：

$$cos{t}_1\le cos{t}_2$$

简单分讨一下我们发现第一项是没用的，所以可以改写上式：

$$max\{sum+a_i+b_i,sum+a_i+a_j\}+b_j\le max\{sum+a_j+b_j,sum+a_j+a_i\}+b_i$$

$max$ 里的东西提出来，移项：

$$max\{b_i,a_j\}-a_j-b_i\le max\{b_j,a_i\}-a_i-b_j$$

两边比较对称，所以分讨一边：

$$b_i<a_j\mathrm{时},\mathrm{左}\mathrm{式}=-b_i$$

$$b_i>a_j\mathrm{时},\mathrm{左}\mathrm{式}=-a_j$$

所以原式化为：

$$min\{b_i,a_j\}\ge min\{b_j,a_i\}$$

好的这是一个非常优美的柿子，这题到此结束。

骗你的，看一遍题目再看这个柿子，你会发现这是基于两个大臣相邻的前提下的关系，而排序要求的是任意两个元素之间的关系，换句话说，我们需要找一种具有传递性的关系，所以最终的目的是把下标一样的放在不等式的同一侧，这样就能对所有元素适用了。

好不容易推出来的柿子不能扔，再看一遍这个柿子：

$$min\{b_i,a_j\}\ge min\{b_j,a_i\}$$

回到最初看这个题的时候，一种朴素的贪心思想是尽量把 $a$ 小 $b$ 大的放在前面，那么可以根据这个性质展开分讨：
$a_i<b_i,a_j<b_j\mathrm{①}$ 按 $a$ 升序。
$a_i=b_i,a_j=b_j\mathrm{②}$ 这个随便排就行了，对答案没有影响。
$a_i>b_i,a_j>b_j\mathrm{③}$ 按 $b$ 降序。
我们按这三种特殊情况内部排完序，考虑他们之间的顺序：① 比 ② 优，③ 比 ② 劣。
所以这题就这么解决了。