图论中的概念与定义

匹配

• 图的匹配：选出一组边使得每两条边之间没有公共顶点 || 选出一组边使得每个点最多只与其中一条边相连
• 点覆盖：选出一个点集使得所有的边都和其中至少一个点相连
• 最大独立集：选出一个极大点集使得任意两点间没有连边
• 最大团：选出一个极大点集使得任意两点之间有连边（极大完全子图）

图相关

• 完全图：一个简单无向图满足任意两点间有连边，记作 \(K_n\)
• 补图（简单图才有）：把所有之前有的边删去，之前没有连边的点之间连边
• 自补图：简单图 G 的补图与自己同构，称 G 为自补图
• 正则图 : 各顶点的度均相同的简单无向图
• 平面图：各条边都不相交的无向图

注意这里的“相交”指的是几何意义上的相交，也就是只要能在一个平面上找出一个点集，按照图中连边的方式相连后得到的所有线段不相交即可。

• 对偶图：与平面图伴生而出的一种图。把平面图中分割出的每个平面作为节点，节点之间连边，满足每条边都和平面图上的一条边相交。
• 竞赛图：在无向完全图中为条边分配方向而获得的有向图。
• 完全图：一个n阶的无向完全图含有 \(n*(n-1)/2\) 条边，有向图则含有 \(n*(n-1)\) 条边，也就是任意两点间都有边相连
• 强连通分量：即在有向图中任意两点都连通的极大大子图，简称为\(SCC\)，需要注意的是，强连通分量中一定包含环，但一个强连通分量并不等同于一个环，此外，单独的一个点也是一个强连通分量
• 导出子图：一个子点集和所有两个顶点都在此点集中的边构成的子图。

树相关

• 基环树：只有一个简单环的无向连通图。
• 内向树 && 外向树：每个节点至多有一个出度 or 入度的 DAG
• 边仙人掌：每条边至多在一个简单环中的无向图
• 点仙人掌：每个点至多在一个简单环中的无向图