01分数规划

01分数规划

01分数规划模型大多都能化成对这样的一个式子求最值的问题↓

$$ans=\frac{\sum x_i{a}_i}{\sum x_i{b}_i},x_i\in \{0,1\}$$

具体而言，就是有一对元素，每个元素有两个属性，从中挑选出一些元素使得属性一的和比上属性二的和最大。
我们采用二分解决这个问题，首先假设答案为ans，对原式化简：

$$\sum x_i{a}_i-ans\sum x_i{b}_i=0$$

把ans丢进去

$$\sum x_i{a}_i-\sum ans\ast x_i{b}_i=0$$

化简

$$\sum x_i{a}_i-ans\ast x_i{b}_i=0$$

考虑二分的值 mid, 如果 mid > ans 则上式的值 < 0,其他情况同理，所以问题转化成了求上式ans = mid时的最大值。
从若干物品中选出价值和最大的，每个物品可以选1次或不选，01背包实现。
所以整个问题的思路就明确了：
1.二分一个值
2.01背包计算max
3.如果 max < 0， r = mid - 1，否则 l = mid + 1;

模板题：Talent Show G