[ABC077D] Small Multiple

Description#

给定一个整数 $K$ 。求一个 $K$ 的正整数倍 $S$，使得 $S$ 的数位累加和最小。

$2\le K\le 10^5$。

Solution#

先不去考虑 $K$ 的倍数这件事。思考如何快速得到一些数的数位累加和。

一个数的数位和，可以看成这个数在当前数位上加了几次。那么如果我们从 $1$ 出发，那么就会有两条路：当前数位加一或者进入到下一个数位，其体现为 $+1$ 和 $\times 10$。而 $+1$ 会使数位和增加，但 $\times 10$ 不会。

但怎么找到 $K$ 的倍数呢？我们从余数的角度来考虑。那么 $+1$ 和 $\times 10$ 就相当于从一个余数连向另一个余数的边，$+1$ 边权值为 $1$，$\times 10$ 边权值为 $0$。最终答案就为 $1$ 到 $0$ 的最短路。

Code#

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 100005
using namespace std;
int n,dis[N];
bool bj[N];
struct node {int x,dis;};
deque<node> q;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
    q.push_back((node){1,1});dis[1]=1;
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.front().x,d=q.front().dis;q.pop_front();
        if (dis[x]<d) continue;
        if (bj[x]) continue;
        bj[x]=true;
        if (dis[(x+1)%n]>dis[x]+1)
        {
            dis[(x+1)%n]=dis[x]+1;
            if (!bj[(x+1)%n]) q.push_back((node){(x+1)%n,dis[(x+1)%n]});
        }
        if (dis[x*10%n]>dis[x])
        {
            dis[x*10%n]=dis[x];
            if (!bj[x*10%n]) q.push_front((node){x*10%n,dis[x*10%n]});
        }
    }
    printf("%d\n",dis[0]);
    return 0;
}