P3953 [NOIP2017 提高组] 逛公园

Description

策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张 \(N\) 个点 \(M\) 条边构成的有向图，且没有 自环和重边。其中 \(1\) 号点是公园的入口， \(N\) 号点是公园的出口，每条边有一个非负权值，代表策策经过这条边所要花的时间。 策策每天都会去逛公园，他总是从 \(1\) 号点进去，从 \(N\) 号点出来。

策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果 \(1\) 号点 到 \(N\) 号点的最短路长为 \(d\) ，那么策策只会喜欢长度不超过 \(d+K\) 的路线。

策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗?

为避免输出过大，答案对 \(P\) 取模。

如果有无穷多条合法的路线，请输出 \(-1\)。

\(N\le 10^5,M\le 2\times 10^5,K\le 50\)。

Solution

\(K\) 的范围较小，枚举 \(i\) 表示额外长度。

先求出 \(1\) 到每个点的最短路 \(dis\)。设 \(f_{x,v}\) 表示到节点 \(x\) 额外长度为 \(v\) 的方案数。在反向图上遍历。若点 \(x\) 可以从点 \(y\) 走到，则有转移 \(f_{x,v}=\sum f_{y,v-(dis_y+z-dis_x)}\)。其中 \(dis_y+z-dis_x\) 是走这条路所需要的额外长度。

当有 \(0\) 环就存在无穷多条合法路线。而有 \(0\) 环意味着可能在求 \(f_{x,v}\) 时又走回了 \(f_{x,v}\) 这个状态。因此可以记录每个状态 \(\{x,v\}\) 是否在待处理的栈中。若 \(\{x,v\}\) 二次入栈则说明存在 \(0\) 环。

Code

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 100005
#define M 200005
#define K 55
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int T,n,m,mod,k,tot,ans,dis[N],f[N][K];
bool bj[N],bz[N][K];
struct edg
{
    int tot=0,to[M],next[M],head[N],val[M];
    void add(int x,int y,int z) {to[++tot]=y;val[tot]=z;next[tot]=head[x];head[x]=tot;}
}a,_a;
struct node
{
    int x,dis;
    bool operator>(const node& x) const {return dis>x.dis;}
};
priority_queue<node,vector<node>,greater<node>> q;
void dij()
{
    memset(dis,inf,sizeof(dis));
    memset(bj,false,sizeof(bj));
    dis[1]=0;q.push((node){1,0});
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.top().x;q.pop();
        if (bj[x]) continue;
        bj[x]=true;
        for (int i=a.head[x];i;i=a.next[i])
        {
            int y=a.to[i],z=a.val[i];
            if (dis[y]>dis[x]+z)
            {
                dis[y]=dis[x]+z;
                if (!bj[y]) q.push((node){y,dis[y]});
            }
        }
    }
}
int dfs(int x,int rest)
{
    if (rest<0||rest>k) return 0;
    if (bz[x][rest])//二次入栈
    {
        bz[x][rest]=false;
        return -1;
    }
    if (f[x][rest]!=-1) return f[x][rest];
    bz[x][rest]=true;//入栈
    int res=0;
    for (int i=_a.head[x];i;i=_a.next[i])
    {
        int y=_a.to[i],z=_a.val[i];
        int s=dfs(y,rest-(dis[y]+z-dis[x]));
        if (s==-1) {bz[x][rest]=false;return -1;}
        res=(res+s)%mod;
    }
    bz[x][rest]=false;//出栈
    if (x==1&&rest==0) res++;//走到了起点
    return f[x][rest]=res;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&mod);
        for (int i=1;i<=m;++i)
        {
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            a.add(x,y,z);
            _a.add(y,x,z);
        }
        dij();
        memset(f,-1,sizeof(f));
        memset(bz,false,sizeof(bz));
        bool flag=true;ans=0;
        for (int i=0;i<=k;++i)
        {
            int res=dfs(n,i);
            if (res!=-1) ans=(ans+res)%mod;
            else {flag=false;break;} 
        }
        if (!flag) printf("-1\n");
        else printf("%d\n",ans);
        a.tot=_a.tot=0;
        for (int i=1;i<=n;++i)
            a.head[i]=_a.head[i]=0;
    }
    return 0;
}