3362. 【NOI2013模拟】数数

Description

神犇最近闲来无事，于是就思考哲学，研究数字之美。在神犇看来，如果一个数的各位能够被分成两个集合，而且这两个集合里的数的和相等，那么这个数就是优美的（具体原因就只有神犇才知道了）。现在神犇在思考另一个问题，在区间[A,B]中有多少个数是优美的？这个问题对于神犇来说很简单，相信对于你来说也不难。

Solution

先将目的转化成求 \(1\sim b\) 和 \(1\sim a-1\) 中的帅气的数字个数。然后二者相减。下面以求出 \(1\sim n\) 中的答案来讲解。

注意到一个数是否帅气只跟 0~9 各出现了多少次有关。考虑直接枚举，枚举完后用背包来判断是否合法。

可以发现，背包的大小最大只有 \(\dfrac{9\times \log_{10}n}{2}\)，即 45。而背包的目的也只是需要判断是否合法即可。因此我们用二进制数 \(p\) 来代替背包。若 \(p\) 的 \(2^i\) 是 1，说明在背包中 \(i\) 是可行的。假设向背包中添加一个数 \(x\)，只需要 \(p\) 或上 \(p<<x\) 即可。判断的复杂度是 \(\mathcal O(\log n)\)。

但现在问题就在于如何填数使得填出来的数小于等于 \(n\)。

采用数位 \(\text{dp}\) 的思想。枚举当前位填 \(i(0\le i<a_i)\)（\(a_i\) 表示 \(n\) 中第 \(i\) 位的数字），那么剩下位可以随便填。根据公式可推出 \(ans=ans+\frac{(\sum num_i)!}{\Pi(num_i!)}\) （总方案除去相同的数调换顺序的方案）。接着使当前位等于 \(a_i\)，向下递归。

这样做我们永远无法取到 \(n\)，所以做的是其实求的是 \(1\sim b+1\) 和 \(1\sim a\)。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 11
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,ans,cnt,a[N],jc[N],c[N];
void getans(ll x)
{
    if (x>cnt) return;
    for (ll i=0;i<c[cnt-x+1];++i)
        if (a[i])
        {
            a[i]--;
            ll res=0;
            for (ll j=0;j<=9;++j) res+=a[j];
            res=jc[res];
            for (ll j=0;j<=9;++j) res/=jc[a[j]];
            ans+=res;
            a[i]++;
        }
    if (a[c[cnt-x+1]])
    {
        a[c[cnt-x+1]]--;
        getans(x+1);
        a[c[cnt-x+1]]++;
    }
}
void dg(ll xnum,ll xlen,ll sum,ll k)
{
    if (xnum>9)
    {
        if (sum%2==1) return;
        if (a[0]==cnt) return;
        ll p=1;
        for (ll i=0;i<=9;++i)
            for (ll j=1;j<=a[i];++j)
                p|=(p<<(ll)i);
        ll q=((ll)1<<(ll)(sum/2));
        if (!(p&q)) return;
        getans(1);
        return;
    }
    if (xnum==9)
    {
        a[xnum]=cnt-xlen;
        dg(xnum+1,cnt,sum+9*(cnt-xlen),k);
        return;
    }
    for (ll i=0;i<=cnt-xlen;++i)
    {
        a[xnum]=i;
        dg(xnum+1,xlen+i,sum+xnum*i,k);
    }
}
ll calc(ll x)
{
    ll xx=x;
    cnt=0;
    memset(c,0,sizeof(c));
    while (xx)
    {
        c[++cnt]=xx%10;
        xx/=10;
    }
    ans=0;
    memset(a,0,sizeof(a));
    dg(0,0,0,x);
    return ans;
}
int main()
{
    jc[0]=1;
    for (ll i=1;i<=9;++i)
        jc[i]=jc[i-1]*i;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    while (n||m) printf("%lld\n",calc(m+1)-calc(n)),scanf("%lld%lld",&n,&m);
    return 0;
}