1897. 【2010集训队出题】书堆

Description

蚂蚁是勤劳的动物，他们喜欢挑战极限。现在他们迎来了一个难题！蚂蚁居住在图书馆里，图书馆里有大量的书籍。书是形状大小质量都一样的矩形。蚂蚁要把这些书摆在水平桌子的边缘。蚂蚁喜欢整洁的布置，所以蚂蚁规定书本必须水平摆放，宽必须平行于桌缘（如图），而且不允许同一高度摆多本书。

蚂蚁想要让书本伸出桌子边缘尽量远，同时不让书因为重力垮下来。它们已经用不知道什么方法测出了书的长度M（如图）。如果总共有N本书，请你帮忙计算如何摆放使得最多水平伸出桌缘多远。你不用考虑蚂蚁用什么方法搭建这堆书。

如果某本书以上的所有书的重心的竖直射影不在这本书上，或者正好落在在这本书的边界上，那么这堆书是不稳定的，会因为重力而垮下来。

• 不考虑地球自转，重力系数也不因高度改变；

• 书是质量均匀，质地坚硬的理想二维物体；

• 在不会垮的前提下，每本书的位置坐标可以是任意实数。

Solution

先假定书的重心可以到达书本的边界。

思考一下，对于 \(i\) 以上的书本来说，最优情况就是重心落在 \(i\) 的最右端。

不妨设桌面最右边为 0，书本自下而上编号 \(1\sim n\)，重心的 \(x\) 坐标为 \(g_i\)。

那么根据重心位置公式可得

\(\begin{cases}0=\frac{\sum\limits_{i=1}^n g_i}{n}\\g_1+\frac{1}{2}=\frac{\sum\limits_{i=2}^n g_i}{n-1}\\ \dots\end{cases}\)

解得

\(\begin{cases}g_1=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2}\\g_2=\frac{1}{2(n-1)}+g_1\\\dots\\g_n=\frac{1}{2}+g_{n-1}\end{cases}\)

那么 \(ans=m\times (g_n+\frac{1}{2})=m\times (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\dots)=m\times \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2i}\)。

这个式子在 \(n\le 10^{18}\) 的情况下肯定是没有办法线性求出的。所以回想一下数学上的一些知识。

\(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i}\) 这个式子称为调和级数，而调和级数有公式：\(\gamma=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}-\ln n\right)\)。\(\gamma\) 是欧拉常数，\(\gamma\approx0.57721 56649 01532\)。当 \(n\ge 10^7\) 的时候，误差已经减小到不会影响整数位了，所以可以直接 \(\mathcal O(1)\) 得到结果。

此时为了满足题意：不能落在边界上，可以将答案先减去一个较小的数（例如 \(10^{-7}\)）后再取整。但注意这个数不能太小，也不能太大。

Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define gama 0.577215664901
#define eps 1e-7
using namespace std;
long long n,m,ans;
double sum;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if (n>=10000000) sum=(log(n)+gama)/2.0;
    else
    {
        for (int i=2;i<=2*n;i+=2)
            sum+=(1.0/i);
    }
    ans=m*sum-eps;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}