浅谈裴蜀定理&扩展欧几里得

裴蜀定理

\(a,b\) 是整数，且 \(\gcd(a,b)=d\)，那么对于任意的整数 \(x,y\)，\(ax+by\) 都一定是 \(d\) 的倍数。特别地，一定存在整数 \(x,y\)，使 \(ax+by=d\) 成立。

换种说法，若 \(ax+by=c\) 有解，当且仅当 \(c\) 是 \(\gcd(a,b)\) 的倍数。

证明：

令 \(\gcd(a,b)=p\)。

一、必要性：如果有整数解，那么 \(c\) 是 \(p\) 的倍数。

\(a=a'*p,b=b'*p\)

\(ax+by=a'*p*x+b'*p*y=p*(a'x+b'y)=c\)。

因此 \(c\) 是 \(p\) 的倍数。必要性得证。

二、充分性：如果 \(c\) 是 \(p\) 的倍数，那么就有整数解。

根据欧几里得算法，求 \(\gcd\) 的时候，最后一定是 \(a=p,b=0\)。

此时满足 \(ax+by=c\) 的解很容易找，例如 \(x=\frac{c}{p},y=0\)。

然后考虑从 \((b,a\%b)\) 的整数解推到 \((a,b)\) 的整数解。（有点像归纳）

设 \(b*x1+a\%b*y1=c\)

\(ax+by=b*x1+a\%b*y1=b*x1+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b)*y1=a*y1+b*(x1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*y1)\)

显然当 \(x=y1,y=x1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b\) 时等式成立，则必然有整数解。充分性得证。

扩展欧几里得

其实扩展欧几里得就是要求类似 \(ax+by=c\) 这样式子的解。而在刚刚裴蜀定理充分性的证明中，已经将如果求一组特殊解的过程说了。

即：先求出 \(\gcd\)，并令此时 \(x=\frac{p}{\gcd},y=0\)，然后一步一步向上推导回去。

如方程 \(99x+78y=6\)，求解过程如下表所示：（\(x=y1,y=x1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b\)）

a	b	\(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\)	x	y
99	78	1	-22	28
78	21	3	6	-22
21	15	1	-4	6
15	6	2	2	-4
6	3	2	0	2
3	0	-	x=gcd(99,78)=2	0

验证一下：\(99*(-22)+78*28=-2178+2184=6\)。

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if (b==0){ d=a;x=c/a;y=0;}
    else
    {
        int x1,y1;
        exgcd(b,a % b,d,x1,y1);
        x=y1;
        y=x1-a/b*y1;
    }
}

做到这里，我们已经求出来了一组特解，那么如何求出一般解呢？

我们设特解 \((x0,y0)\) 的下一组解是 \((x0+d1,y0+d2)\)，有

\(a*x0+b*y0=a*(x0+d1)+b*(y0+d2)=c\)

\(a*d1+b*d2=0\)

\(\dfrac{d1}{d2}=-\dfrac{b}{a}\)

约分得 \(\dfrac{d1}{d2}=-\dfrac{\frac{b}{\gcd(a,b)}}{\frac{a}{\gcd(a,b)}}\)。

而根据定义，\(d1\) 应该尽可能小，所以 \(d1=\dfrac{b}{\gcd(a,b)},d2=-\dfrac{a}{\gcd(a,b)}\)。

因此 \(ax+by=c\) 的一般解形式就可以表示成 \(x=x0+k*(\frac{b}{\gcd(a,b)}),y=y0-k*(\frac{a}{\gcd(a,b)})\)，其中 \(k\in \mathbb{Z}\)。

\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)

拓展：

对于整数序列 \(A_1,A_2,A_3,\dots,A_n\) 是否存在 \(X_1,X_2,X_3,\dots,X_n\) 使得 \(A_1*X_1+A_2*X_2+A_3*X_3+\dots+A_n*X_n=C\) 其中满足\(\gcd(A_1,A_2,A_3,\dots,A_n)|C,n\ge 2\).

结论：存在。

证明：使用数学归纳。

当 \(n=2\) 时成立（根据裴蜀定理）。

设当 \(n=k\) 时成立，考虑 \(n=k+1\) 时是否成立。

\(\gcd(A_1,A_2,A_3,\dots,A_k)*x+A_{k+1}*X_{k+1}=C\) 有解，因为 \(\gcd(\gcd(A_1,A_2,A_3,\dots,A_k),A_{k+1})=\gcd(A_1,A_2,A_3,\dots,A_{k+1})\)，而 \(\gcd(A_1,A_2,A_3,\dots,A_{k+1})|C\)。

同时 \(A_1*X_1+A_2*X_2+A_3*X_3+\dots+A_k*X_k=\gcd(A_1,A_2,A_3,\dots,A_k)*x\) 也有解。

得证。并且上述证明过程也可以用于求解过程。

int main() 
{  
    scanf("%d",&n);
    gcd[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		gcd[i]=Gcd(gcd[i-1],a[i]);
	}
    scanf("%d",&c);
    if (c % gcd[n]==0)
    {  
    	y[n]=c/gcd[n];
    	for (int i=n;i>1;i--) 
			exgcd(gcd[i-1],a[i],gcd[i]*y[i],y[i-1],x[i]);    
    	x[1]=y[1];
    	for(int i=1;i<=n;i++)
			printf("%d ",x[i]);
    }
    return 0;
}