浅谈最大公约数

根据教师课件，写成本文。未经允许，禁止转载。

$\gcd$，即最大公约数，指的是几个整数中公有的约数中最大的一个。

问题#

已知 $a,b$，求 $\gcd(a,b)$。

方法一：枚举法#

从 $\min(a,b)$ 到 $1$ 枚举，找到第一个 $x$ 符合题意，就退出循环。

时间复杂度 $\mathcal O(\min(a,b))$。

方法二：分解质因数#

令 $a=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\dots p_n^{x_n}$，$b=p_1^{y_1}p_2^{y_2}\dots p_n^{y_n}$，其中$x_i,y_i\ge0$ 且不同时为 0。

则 $\gcd(a,b)=p_1^{\min(x_1,y_1)}p_2^{\min(x_2,y_2)}\dots p_3^{\min(x_3,y_3)}$。

时间复杂度 $\mathcal O(\sqrt{\min(a,b)})$。

void Gcd()
{
	for(int x=2;x*x<=min(a,b);x++)
	{
		while (a % x==0 && b % x==0) {a/=x;b/=x;ans*=x;}
		while (a % x==0)a/=x;
    	while (b % x==0)b/=x;
	} 
	if (a % b==0)ans*=b;
    else if (b % a==0)ans*=a;
    printf("%d",ans);
}

方法三：辗转相除（欧几里得算法）#

定理：$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)$。

证明：

设 $\gcd(a,b)=p$，则有 $a=a'*p,b=b'*p,\gcd(a',b')=1$。

$a\%b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor *b=a'*p-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b'*p=p*(a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b')$。

$\gcd(b,a\%b)=\gcd(b'*p,p*(a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b'))=p*\gcd(b',a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b')$。

现证明 $\gcd(b',a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b')=1$，使用反证法。假设 $gcd(b',a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b')=t(t>1)$。

$b'=b''*t$，$a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b'=c'*t$。

$a'=c'*t+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b'=c'*t+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b''*t=t*(c'+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b'')$。

则 $\gcd(a',b')\ge p$，与 $\gcd(a',b')=1$ 矛盾，因此 $\gcd(b',a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b')=1$。

$\gcd(b,a\%b)=p=\gcd(a,b)$。

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时间复杂度 $\mathcal O(\log(\max(a,b)))$。

分析：

1. 设 $a>b$。

   若 $a>2b$，则 $b\le \frac{a}{2}$，规模减小一半。反之 $a<2b$，则 $a\%b<\frac{a}{2}$。

   因此时间复杂度是 $\log$ 级别。

2. 斐波那契分析：传送门。

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int Gcd(int a,int b)
{
    if (b==0) return a;
    else return Gcd(b,a % b);
}

方法四：二进制法#

当 $a<b$ 时， $\gcd(a,b)=\gcd(b,a)$。

当 $a=b$ 时 $\gcd(a,b)=a$。

当 $a,b$ 同为偶数时，$\gcd(a,b)=2*\gcd(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$。

当 $a$ 为偶数，$b$ 为奇数时，$\gcd(a,b)=\gcd(\frac{a}{2},b)$。

当 $a$ 为奇数，$b$ 为偶数时，$\gcd(a,b)=\gcd(a,\frac{b}{2})$。

当 $a,b$ 为奇数时，$\gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)$。

注：此法适合高精度求最大公约数。

int Gcd(int m,int n)
{
    if (m==n) return m;
    if (m<n) return Gcd(n,m);
    if (m & 1==0) return (n & 1==0)? 2*Gcd(m/2,n/2):Gcd(m/2,n);
    return (n & 1==0)? Gcd(m,n/2): Gcd(n,m-n);
}