01.17~01.27 总结

01.17

T1

比较容易想到线段树，但做法过于麻烦，需要讨论过多的参数，导致写挂了。

具体来说，对于每个区间，维护总区间值，区间左端点，区间右端点，从左端点开始的最大区间值和左右端点，以右端点结尾的最大区间值和左右端点，以及不与左右端点相交的最大区间值及左右端点。更新的时候注意字典序即可。

T2

考虑树剖，具体做法还未理解彻底。

赛时是倍增求出 \(\mathrm{lca}\) 然后直接跑路径。

T3

最大值最小，显然二分。用 \(\mathrm{dp}\) 来维护

另外的做法是用后缀数组，将所有后缀排序后，选取连续的一段字符。

T4

\(\mathrm{dp}\) 套 \(\mathrm{dp}\)，设 \(f_{i,j}\) 表示经典的匹配，注意到对于相同的 \(i\)，\(f_{i,j}\) 都是相同的，且对后面的影响是一样的。

另外 \(f_{i,j}\) 是不下降的，且与 \(f_{i,j+1}\) 最多差 1。于是可以将 \(f_{i,j}\) 差分然后压缩。

设 \(F_{i,s}\) 表示 b 串枚举到第 \(i\) 位，\(s\) 为压缩后 \(f_{i,j}\) 的状态，值为方案数。

每次转移枚举当前位选什么，计算新的 \(s\)。

01.18

T1

容易发现跟垂直平分线有关。

枚举三个点，求出垂直平分线的交点，再根据是否在多边形内判断、取点、求距离。

当然由于是最小值最大也可以进行二分，二分完后分类讨论判断是否合法。

T2

注意到显然的性质:第一个和第二个之间的高度差一定是最大的。

题目保证最后的答案小于等于 \(1e5\)，那么可以预处理出这 \(1e5\) 中所有块的高度为多少（形如 \(ax+by\)）。

然后可以枚举前面两块之间的高度，求出答案，注意精度。

T3

将移动看成空降，题目转换成带通配符的字符串匹配，推式子，用 \(\mathrm{FFT/NTT}\) 优化。

回到题目，可以用同样的方法进行二维的匹配，但也可以将二维变成一维来匹配。

处理移动是类似的问题，同样使用 \(\mathrm{FFT/NTT}\) 优化卷积即可。

T4

一种方法是用类似莫队的做法，令一种是分块套分块然后再转换，没听懂……

01.19

今天滚去做 A 组了。

比赛只做了一题，没有注意到第 4 题的 \(\mathrm{dp}\) 其实很好写，因为做完 T1 就在搞 T2，但一直没弄出来。

策略还是有问题的。

T1

注意到 \(n\) 只有 20，可以状压，先预处理出砍掉某条边后哪些边会消失，可以枚举每条边然后 \(\mathrm{dfs}\)。

预处理完后记忆化搜索，设 \(f_{s,i}\) 表示树的状态为 \(s\)，当前是 \(i\) 走。转移就是枚举边，求出新的 \(s\)，然后搜索。

T2

想到跟直线有一定关系，但关注点在角度上，而不是在左右侧。

可以求出 A 点到每个点的向量，由于 A 点在多边形内部，因此肯定在向量的左侧，所以我们只需要求出每条边左侧点的数量，找到最小值即为答案。

T3

看到输入顿时不想做，也没有进一步的想（也没有时间去想）。

其实弄出每个怪物对应的剑术和法术，连一条流量为 \(\mathrm{inf}\) 的边，题目转换成求点集的最小覆盖，跑最大流即可。

T4

数据不大，可以设高维 \(\mathrm{dp}\)，根据题目的条件暴力转移。

暴力 \(\mathrm{dp}\) 是 \(\mathcal O(n^6)\) 的，但我们发现如果一行里有一个被转移到了，那么后面的其实是无效的，因为接下来的都可以由这一行第一个被转移到的点去转移，因此可以直接退出，时间复杂度降为 \(\mathcal O(n^5)\)（当然如果要卡应该也是能卡的）。

当然也可以调整一下设的状态，提前预处理出可以到达的点，降低时间复杂度。

01.20

T1

一开始想过网络流，后面再看了遍题目，题目的限制提示我们通过的港口是单调的，因此可以考虑 \(\mathrm{dp}\)。

由于左右两边之间没有过多的联系，因此两边各设 \(f_i\) 表示到了第 \(i\) 个港口的最大收益。

预处理边，将边升序排序，枚举左边港口 \(i\)，升序枚举能到右边的港口 \(k\)。直接转移，注意储存一些更改过的量。

T2

很容易想到网络流，但是题目中 \(d\) 的限制一直没有什么好的思路，就放在一边。

发现如果我们枚举答案，可以推出 0/1 的最大限制流量，从而新增节点来满足条件。

T3

将一段区间更改的操作容易想到线段树，但这种修改一部分不修改一部分的没有什么好的方法，想过吉司机线段树但不会打。

其实可以直接暴力修改，因为每个点最多被修改一次，时间复杂度均摊是 \(\mathcal O(n)\) 的。

T4

没有想到性质，写了个暴力，在尝试拿到 30 分但失败了。

正解是 \(\mathrm{dp}\)，由于两个矩形的横坐标要么相离要么包含，可以分情况讨论。

01.21

T1

数据很小，很明显使用的是搜索。一开始直接用一种特别暴力的搜索，虽然过了样例，但是连 \(3 \times 3\) 的数据都过不去。

后来发现由于颜色只有 3 种，可以 3 进制压缩存图，然后 \(\mathrm{BFS}\)，同时改变的时候用一些奇奇怪怪的做法可以做到 \(\mathcal O(1)\)，总的时间复杂度为 \(\mathcal O(3^{n\times m}nm)\)，只能拿到 50分。

其实正解就是在这个基础上双向搜索，可以降低时间，这种方法十分适用于起始状态、结束状态和操作都给出，并且数据不大的情况下，可以有效的节约时间。

T2

看到最大值最小，想了想二分，但二分完后不好 \(\mathrm{dp}\) 判断，而且会有后效性。就想了想什么没有后效性的做法。

看到题目中一个条件：没有两栋楼高度相同，就想到如果按照高度的顺序来 \(\mathrm{dp}\) 应该就没有后效性。进而想到以区间最大值为根建树，然后做树形 \(\mathrm{dp}\)。

T3

做前面两题的时间花了有点久，导致这题都没有时间来做，但其实非常简单。

数据不大，一种朴素的想法是直接暴力，加上一些优化。

另外一种想法是区间 \(\mathrm{dp}\),由于操作都是在区间进行，因此可以用区间 \(\mathrm{dp}\)，注意先乘后加。

T4

一开始没弄懂什么是：“最多只有一种路线可以回到该点”，其实指的就是每个点最多只会在一个环上。因此我们可以用 \(\mathrm{tarjan}\) 缩点，然后 \(\mathrm{dp}\)。

01.22

T1

\(n\) 很大，但用来构造数据的 \(m\) 很小，提示我们 \(n\) 可能只用来吓唬的。模拟了几组数据发现生成出来的序列是在 \(-m\sim m\) 的范围的，并且是有周期的。并且一个周期的总和是小于 0 的（至少我弄的几组数据是这样的），所以可以认为，最后答案一定不会超过两个周期。

因此可以将 \(n\) 降下来，然后暴力做即可。

T2

这题跟昨天那题一样，数据不大，初始和结束状态都给出了，因此可以使用双向搜索。

但今天的没办法压缩建图，所以我们直接用 \(\mathrm{map}\) 来存图。

T3

这一类选了一种不能选另一种，每种有各自的价值的，一般都是最小割，但我的建图有点麻烦，最后还是优化了一下才过去的。

具体来说，我们从 \(S\) 向每个区域连一条流量为商业区价值的边，每个区域向 \(T\) 连一条流量为工业区价值的边。对于共同收益，再新增节点，分别表示共同选商业区和工业区的收益。

T4

本来想过暴力，但 \(n\le 10000\) 让暴力都过不去。

发现影响每个矩形的都只有最靠近它的，所以我们用线段树找出最靠近它的矩形的 \(x\) 值，更新一下，然后作为答案。

01.23

这几天忙到忘了写总结。

T1

签到题。题目已经说了没有相交的边，那可以直接 \(\mathcal O(n)\) 暴力即可。

T2

考场时想着建两棵线段树，但是没有想到怎么处理哪些点属于哪个线段树，后来想到删除点相当于覆盖，因此我们可以离线做。

从后面开始往前弄矩形，先用二分弄出覆盖的点的区间，然后区间修改，最后对于每个点，找一下 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的标记中更小的那个就是最后被哪个矩形覆盖，给那个矩形的答案加一，最后再顺序输出每个矩形的答案就可以了。

T3

题目很简明，但没有什么思路，于是打了暴力，但打完删除后就去测了样例，忘记自己没有将删除的边加回去，成功爆 0。

正解有很多种，可以圆方树，也可以 \(tarjan\) 求割点和桥，我则是用了分类讨论，对于两种查询，分别分包含和不包含两种情况，然后对应的找出判断条件。

T4

\(n\) 不大，直接暴力 \(\mathcal O(n!)\)，但只能拿到 30 分，正解是对暴力进行优化，答案可行性优化，按照入度排序，二进制记录状态，估价函数，通过这些东西再加上常数优化即可得到满分。

01.26

明天就是冬令营了。

T1

砝码可以放左、右，也可以不放，所以总共是 3 种情况。直接暴力是 \(\mathcal O(m3^n)\) 的，过不去。

优化，但没想到 meet in middle。其实可以搜索前面一半，后面一半，然后指针扫描即可。

T2

\(\mathcal O(n^2)\) 的预处理很简单，所以 \(n\le 10000\) 也就很容易拿到。

这种一个输入对应一个答案的，有可能是结论题，可以通过推式子来得出结论。

\(x+y\le S\) 其实相当于我们求出 \(x+y=S\) 的情况，然后前缀和就好了。

结论：设 \(f_s\) 表示 \(s\) 的答案，则 \(f_s=p-1\)（\(p^2\) 为 \(s\) 因子中最大的完全平方数因子）。

T3

好吧其实没弄懂题意。

主要是我不相信除了重边外只有 4 种路径，就一直以为自己的想法是错的，其实没错。正解是分类讨论，搜索或者树状数组。

T4

读懂题但没有什么思路，连暴力都不清楚怎么实现。总而言之就是在划水。