JZOJ 2020.10.6 【NOIP2017提高A组模拟9.7】简单无向图

简单无向图

题目

Description

Input

Output

Sample Input

输入1：
4
2 1 1 2
输入2：
10
2 2 2 2 1 1 2 1 1 2

Sample Output

输出1：
2
输出2：
18012

Data Constraint

题解

题目大意

给出\(n\)个点和每个的度数
问有多少合法的简单无向图

分析

手模之后发现，每个联通块要么是链，要么是环
而链的个数是\(\dfrac{t1}{2}\)（\(t1\)表示1的个数，\(t2\)表示2的个数，下同）
然后打表找规律
发现只跟1的方案数
\(w[i]=w[i-2]+w[i-4]*(i-2)*(i-3)\)
那么现在就可以只考虑2了
设\(f[i][j]\)表示当前用了\(i\)个2，其中\(j\)个用作环，那么剩下\(i-j\)个就是用作链
对于当前这一个
有3种情况

1. 新环。\(f[i][j]+=f[i-3][j-3]*(i-1)*(i-2)/2\)
2. 进到一个环里。\(f[i][j]+=f[i-1][j-1]*(j-1)\)
3. 进到一个链里。\(f[i][j]+=f[i-1][j]*(i-j-1+t1)\)

解释

• 要加入一个新的环，需要3个点。去掉当前这个点，还需要在i-1里选两个点，即\(C_{i-1}^2\)，就是\((i-1)*(i-2)/2\)
• 进到一个环里，现在一个环里有\(j-1\)个位置，那么这个点可以选任意一个位置来访
• 进到一个链是一样的，总共有\(i-j-1+t1\)个位置可以放

注意一下爆\(int\)的问题
答案就是\(w[t1]*\sum_{i=0}^{t2}f[t2][i]\)

总结

这题的状态需要想一下
式子有点难推
需要提高对设状态的熟练度

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353
using namespace std;
long long n,x,t1,t2,ans,sum,one[2005],f[2005][2005];
int read()
{
	int res=0;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch-'0'),ch=getchar();
	return res;
}
int main()
{
	freopen("graph.in","r",stdin);
	freopen("graph.out","w",stdout);
	n=read();
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		x=read();
		if (x==1) ++t1;
		else ++t2;
	}
	one[0]=1;
	for (int i=2;i<=t1;++i)
		one[i]=(one[i-2]+(long long)one[i-4]*(i-3)*(i-2)%mod)%mod;
	ans=one[t1]%mod;
	t1/=2;
	f[0][0]=1;
	for (long long i=1;i<=t2;++i)
		for (long long j=0;j<=i;++j)
		{
			if (t1) f[i][j]=(long long)f[i-1][j]*(i-j-1+t1)%mod;
			if (j>2) f[i][j]=(f[i][j]+(long long)(f[i-3][j-3]*(i-1)*(i-2)/2%mod))%mod;
			if (j) f[i][j]=(f[i][j]+(long long)f[i-1][j-1]*(j-1)%mod)%mod;
		}
	for (int i=0;i<=t2;++i)
		sum=(sum+f[t2][i])%mod;
	printf("%lld\n",ans*sum%mod);
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}