DP优化--四边形不等式

四边形不等式

使用范围：区间序列$DP$求最小值（一定是最小值）
对于动态规划转移方程

dp[i][j]=min(dp[i][k],dp[k+1][j])+w(i,j);

其中$w(i,j)$只受$i,j$取值影响
如果满足下面两个条件
$1.$区间单调性：如果对于$\forall i \leq i'< j' \leq j,w(i',j') \leq w(i,j)$(即小区间取值$\leq$大区间取值)
$2.$四边形不等式：$\forall i \leq i'< j' \leq j,w(i,j)+w(i',j')\leq w(i',j)+w(i,j')$

即中的红线总长$\geq$ 蓝线总长

如果$w(i,j)$同时满足区间单调性和四边形不等式

那么$f(i,j)$满足四边形不等式

令$S(i,j)$为$F(i,j)$在取到最优解时的决策点$k$

那么决策本身具有单调性，即满足$S(i,j)\leq S(i,j+1)\leq S(i+1,j+1)$

用$j$代替$j+1$得到

$S(i,j-1)\leq S(i,j)\leq S(i,j+1)$

转移方程变为

$F(i,j)=min(F(i,k)+F(k+1,j))+w(i,j);\ (S(i,j-1)\leq k\leq S(i+1,j))$

可以证明，他将时间复杂度降到了$O(n^2)$

什么时候使用四边形不等式？

只需要牢记公式

$S(i,j-1)\leq S(i,j)\leq S(i,j+1)$

考试时可以打一张决策表看是否满足上面式子，满足可以使用四边形不等式

$1.$序列$DP$有时可以使用四边形不等式优化，但仅仅是常数优化

$2.$需要注意四边形不等式仅针对求最小值的情况

$3.$注意$S$数组（下标取值范围）需要初始化,$S[i][i]=i$

例题

P1880石子合并
这道题的四边形不等式非常裸，但要注意求最大值不能用四边形不等式，注意到最大值可以使用决策单调性优化

求最大值时$f[i][j]$一定是从$f[i][j-1]$或$f[i+1][j]$转移过来的，所以可以将第三维优化掉

$Code$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define maxn 2005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define re register
using namespace std;
int a[maxn],sum[maxn];
int f1[maxn][maxn],f2[maxn][maxn];
int s[maxn][maxn];
int n,tmp,pos,tmp2;
int ans1=0x3f3f3f3f,ans2;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(re int i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i+n]=a[i];
	}
	for(re int i=1;i<=2*n;++i)
	{
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
		s[i][i]=i;//决策区间初始化 
		//这里的f[i][i]都是0不用初始化因为求max就是初始化为0
		//求min使用决策单调性不需要初始化了 
	}
	for(re int i=2*n-1;i>=1;--i)
	 for(re int j=i+1;j<=2*n;++j)
	 {
	 	f2[i][j]=max(f2[i][j-1],f2[i+1][j])+sum[j]-sum[i-1];
	 	 /*注意这句，
              求最大值不能用四边形不等式，
              因为最大值不满足单调性，
              但最大值有一个性质，
              即总是在两个端点的最大者中取到。
         */
         tmp=INF,pos=0;
         for(re int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];++k)
         {
         	tmp2=f1[i][k]+f1[k+1][j]+(sum[j]-sum[i-1]);
         	if(tmp2<tmp) tmp=tmp2,pos=k;
         	f1[i][j]=tmp;
         	s[i][j]=pos;
		 }
	 }
	for(re int i=1;i<=n;++i)
	{
		ans1=min(ans1,f1[i][i+n-1]);
		ans2=max(ans2,f2[i][i+n-1]);
	}
	printf("%d\n%d",ans1,ans2);
	return 0;
}