P3205 【HNOI2010】合唱队
\(n\)个同学按顺序排成一队，他们都有一个身高\(H_i\)，这个顺序称为初始队形
现在按照以下法则重新站队：
对于第一个同学，直接站到新队伍中，队友后面每个同学，假如在初始队伍中他比前面的同学高则站到新队伍最右边，否则站到新队伍最左边（数据保证每个同学身高不同）。所有同学以这个方法站队，形成的新队列称为最终队列。
现在给你最终队列每个人的高度，问有多少种初始队列可以通过以上法则变成最终队列，答案对\(19650827\)取模。
\(Solution\)
考虑到站队的这个过程，每次让一个同学进入新队列只能到队伍的最左边或者队伍的最右边（假如初始队列为空，为避免重复考虑记为最左边），且区间长度\(+1\)，整个过程是最终队列中的一个小区间向两边扩展。显然这道题可以使用区间\(DP\)解决，状态设计类似于“关路灯”这道题（仅仅是状态设计，转移过程没什么关系）。
我们设\(dp[i][j]\)表示初始队列从左往右站队已经完成了最终队列的\(i-j\)部分，发现这根本没法转移，再设计一维表示从左边插入还是从右边插入，才能利用题目条件中的法则进行转移。用\(dp[i][j][0]\)表示最终队列已经完成了\(i-j\)且最新一个人从左边插入，\(dp[i][j][1]\)表示最新一个人从右边插入。转移只有四种情况：
\(1.\)当前人从左边插入和上一个人从左边插入（要求\(H[i]<H[i+1]\)，因为我们确定\(i+1\)是上个人的位置，\(H[i+1]\)就是上个人身高）
\(2.\)当前人在左边插入，上一个人从右边插入（要求\(H[i]<H[j]\)）
\(3.\)当前人在右，上个人在左(要求\(H[j]>H[i]\))
\(4.\)当前人在右，上个人在右（要求\(H[j]>H[j-1]\)）
初始化\(dp[i][i][0]=1，dp[i][i][1]=0\)，默认每个人从左进队（反过来也行），否则答案会重复计算。
\(Code\)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mod 19650827
#define re register
#define maxn 2010
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1; char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,a[maxn],dp[maxn][maxn][2];
int main()
{
n=read();
for(re int i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),dp[i][i][0]=1;
for(re int len=2;len<=n;++len)
for(re int i=1;i<=n;++i)
{
int j=i+len-1;
if(a[i]<a[i+1]) dp[i][j][0]+=dp[i+1][j][0];
if(a[i]<a[j]) dp[i][j][0]+=dp[i+1][j][1];
if(a[j]>a[j-1]) dp[i][j][1]+=dp[i][j-1][1];
if(a[j]>a[i]) dp[i][j][1]+=dp[i][j-1][0];
dp[i][j][1]%=mod;
dp[i][j][0]%=mod;
}
printf("%d",(dp[1][n][1]+dp[1][n][0])%mod);
return 0;
}
