【学习笔记】概率与期望

基本概念

随机变量：有多种可能的取值的变量
$P(A)：$事件$A$发生的概率
$E(X)：$随机变量X的期望值，$E(X)=\Sigma[P(X=i)*i]$
独立事件：互相不影响的事件，满⾜$P(AB)=P(A)P(B)$ 前提：$A,B$;两个随机变量是独立的
对于独立事件，我们有$E(AB)=E(A)E(B)$

常用公式

（等比数列求和公式+极限法）
期望的线性性：$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$
需要注意的是，以上的$X,Y$都是随机变量，不是事件，例如两个扔骰子的点数和。
$\Sigma_{i=0}^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x^n}$,这是等比数列求和公式的变形

前缀和技巧

前缀和技巧是概率期望中很重要的一个技巧
对于离散变量 $X，P(X=K)=P(X<=K)-P(X<=K-1)$

例：

1. 有 $n$ 个随机变量 $X[1…n]$，每个随机变量都是从 $1…S$ 中
随机⼀个整数，求 $Max(X[1…n])$的期望

$Sol:$求最大值的期望，根据公式答案为$\Sigma_{i=1}^{S}P[max=i]i$
$P[max=i]$很难求，但我们可以用前缀和的思想预处理出$P[max<=i-1]$和$P[max<=i]$，相减即可。
$P[max<=i]=(\frac{i}{S})^i$

2. 求证：概率为 $p$ 的事件期望$\frac{1}{p}$次后发生

首先这个问题很显然，我们抛硬币的时候期望抛2次得到正面或者反面
用数学方法证明如下

$Sol:$使用反向前缀和，设成功次数为$X$，则$E[X=i]=E[X>=i]-E[X>=i+1]=(P[X>=i]-P[X>=i+1])*i$
容易得出$P[x>=i]=(1-p)^{i-1}$，因为第$i$次是有可能成功的
所以$E[X=i]=[(1-p)^{i-1}-(1-p)^{i}]*i$
我们展开发现
$ans=(1-p)^0-(1-p)^1+2*(1-p)^1-2*(1-p)^3+3*(1-p)^3.......=\Sigma_{i=0}^{\infty}(1-p)^i$
根据等比数列求和公式得到$ans=\frac{1-(1-q)^{\infty}}{p}$，又因为$q\in(0,1)$，所以$ans=\frac{1}{p}$
得证
概率为 $p$ 的事件期望$\frac{1}{p}$次后发生

这个结论非常重要，之后很有用

另外的小技巧

很多东西都可以看成随机变量或用随机变量表示
例如表达式$exp>=0$，$exp=\Sigma_{i=1}^{+\infty}i<=exp$，这个其实很显然,相当于你前面有多少个人再加$1$就是你的排名

拿球问题

1.箱子里有 n 个球 1…n，你要从里面拿 m 次球，拿了后放回，求取出的数字之和的期望

$Sol:$ 每个球都有$\frac{n}{m}$的概率被取到，根据期望的线性性质，取出数字之和的期望等于取出数字的期望之，求出每个数字期望，相加即可。

2.箱子里有 n 个球 1…n，你要从里面拿 m 次球，拿了后不放回，求取出的数字之和的期望

$Sol:$这个问题相对难想,设$E(S)$为答案的期望，设$E(Xi)$为第$i$项贡献的期望
则$E(S)=E(\Sigma_{i=1}^{n}Xi)=\Sigma_{i=1}^{n}E(Xi)$
设$E(Yi)$表示$i$取出次数的期望，在这个题目中显然$\in(0,1)$
为什么要这么设计，因为这是解决拿球问题的通法
那么我们得到$Xi=Yi*i$，对两边取期望得到$E(Xi)=E(Yi)*i$
接下来是重点

期望有点类似平均值的思想，或者说将总和离散了，也就是说$\Sigma Yi=m$

那么又因为每个球都是独立平等的，所以每个$Yi$一定相等，即$Yi=\frac{m}{n}$

以上两句话是这类题的精髓
那么代回去得到$E(S)=\Sigma_{i=1}{n}\frac{m}{n}*i$，得到的结果和第一问一样，$ans=\frac{m(n+1)}{2}$

3.箱子里有 n 个球 1…n，你要从里面拿 m 次球，拿了后以p1 的概率放回，以 p2 的概率放回两个和这个相同的球，求取出的数字之和的期望

$Sol:$相信经过了前两问的铺垫，这一问思路已经显而易见了，和第二问完全一样，和这些概率没半点关系，当然你可能会问放回两个相同的球的话，一个球的$Yi$可能会增大，但别忘了，这类题的核心是每个球都是独立的平等的，其它球也有等概率放回两个，所以不管放回多少个，每个$Yi$还是相等的，平分$m$，然后只需要和第二问一样做就可以了，显然$ans=\frac{m(n+1)}{2}$

游走问题

• 在⼀条 n 个点的链上游走，求从⼀端走到另⼀端的概率

$Sol:$ 老规矩，设答案为$S$，那么$E(S)=\Sigma E(Xi)$，$E(Xi)$表示从$i$节点走到下一个节点的期望步数，那么我们可以像做$DP$列出一个“状态转移方程”，设我们现在要从$A$走到下一个点，我们从$B$走过来，那么我们可以直接一步过去，也可以往后退再回来走过去，所以我们得出了转移方程

​ $E(A)=\frac{1}{2}*1+\frac{1}{2}(1+E(B)+E(A))$

那么你可能会说，没有考虑往后退几步再往前走等等情况，但其实$E(B)$已经被更新完毕了，也就是说$E(B)$的值已经包含了所有可能，这所有可能也都包括到$E(A)$的路径，可能是往后退$x$步，所以我们只用再加上$E(A)$即可，这一直让初学的我有些困惑，是很重要的一个思想

将以上式子展开可以得到$E(A)=E(B)+2$，又因为$E(1)=1$(只有一种路径)，所以$E(Xi)$构成了$1,3,5,7,9$的等比数列，我们只需用等比数列求和公式，得出$ans=(n-1)^2$。

• 在⼀张 n 个点的完全图上游走，求从一个点走到另一个点的概率

$Sol:$ 第二个问题很有意思，其实不难

完全图：任意两点之间都有直接连边的图

因为是完全图，所以任意两个点都是平等的，除了出发点$A$外还有$n-1$个点，还是分两种情况讨论：第一种情况是直接到达$B$，另一种情况是走到其它的点$C$，也就是说

$E(A)=\frac{1}{n-1}*1+E(C)$

那我们发现问题了，$A$和$C$应该是平等的，不能因为我们选择了$A$就是特殊的，那么我们就将问题变为：每次都有$\frac{1}{n}$的概率到达目标点，从$A$开始就不停地尝试，这也就和我们之前的推论一样了

概率为 $p$ 的事件期望$\frac{1}{p}$次后发生

好啊，那么答案$E(S)$不就是$n-1$了吗。

• 在⼀张 2n 个点的完全二分图上游走，求从一个点走到另一个点的概率

• 在⼀张 n 个点的菊花图上游走，求从⼀个点走到另⼀个点的概率
• 在⼀棵 n 个点的树上游走，求从根走到 x 的期望步数
• 构造⼀张200个点的无向图，使得从 S 走到 T 的随机游走期望步数>=1000000