题解：【CF1878F】 Vasilije Loves Number Theory

题目链接

若 \(a\) 与 \(n\) 互质，因为 \(d\) 是积性函数，所以 \(d(n \times a) = d(n) \times d(a) = n\)，于是只需要判断是否 \(d(n)|n\) 来得到 \(d(a)\)。现在需要动态维护 \(n\) 和 \(d(n)\)。考虑 \(d(n)\) 的定义，如果 \(n = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \cdots \times p_c^{k_c}\)，则有 \(d(n) = \Pi_{i = 1}^{c} (k_i + 1)\)，可以使用 map 来动态维护当前 \(n\) 的质因数及个数，因为题目保证了任何时刻 \(d(n) \leq 10^9\)，所以可以直接爆乘。还有一个问题是不能直接维护 \(n\)，但是我们在维护 \(d(n)\) 的同时维护了 \(n\) 的所有质因数，用这些数来对 \(d(n)\) 进行试除即可，显然这个量级远远小于 \(q \log V\)。接下来再回来思考一下为什么上面的条件是充要的，因为 \(a\) 并没有范围限制，而 \(d\) 的计算方法取决于 \(k\) 而并非 \(p\)，所以总可以找到若干个质数不属于 \(n\) 的约数，然后叠指数来构造和 \(n\) 的拆解方式指数位置相同的形式。

瓶颈在于 map 的使用和质因数分解，筛子预处理一下每个数的最小约数后不用试除法，每次值都至少减少一半。这样大概就做到了 \(\mathcal O(n \log V)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define ld long double
#define ui unsigned int
#define ull unsigned long long
#define int long long
#define eb emplace_back
#define pb pop_back
#define ins insert
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define power(x) ((x)*(x))
using namespace std;

namespace FastIO
{
    template<typename T=int> inline T read()
    {
        T s=0,w=1; char c=getchar();
        while(!isdigit(c)) {if(c=='-') w=-1; c=getchar();}
        while(isdigit(c)) s=(s*10)+(c^48),c=getchar();
        return s*w;
    }
    template<typename T> inline void read(T &s)
    {
        s=0; int w=1; char c=getchar();
        while(!isdigit(c)) {if(c=='-') w=-1; c=getchar();}
        while(isdigit(c)) s=(s*10)+(c^48),c=getchar();
        s=s*w;
    }
    template<typename T,typename... Args> inline void read(T &x,Args &...args)
    {
        read(x),read(args...);
    }
    template<typename T> inline void write(T x,char ch)
    {
        if(x<0) x=-x,putchar('-');
        static char stk[25]; int top=0;
        do {stk[top++]=x%10+'0',x/=10;} while(x);
        while(top) putchar(stk[--top]);
        if(ch!='~') putchar(ch);
        return;
    }
}
using namespace FastIO;

namespace MTool
{   
    #define TA template<typename T,typename... Args>
    #define TT template<typename T>
    static const int Mod=998244353;
    TT inline void Swp(T &a,T &b) {T t=a;a=b;b=t;}
    TT inline void cmax(T &a,T b) {a=max(a,b);}
    TT inline void cmin(T &a,T b) {a=min(a,b);}
    TA inline void cmax(T &a,T b,Args... args) {a=max({a,b,args...});}
    TA inline void cmin(T &a,T b,Args... args) {a=min({a,b,args...});}
    TT inline void Madd(T &a,T b) {a=a+b>=Mod?a+b-Mod:a+b;}
    TT inline void Mdel(T &a,T b) {a=a-b<0?a-b+Mod:a-b;}
    TT inline void Mmul(T &a,T b) {a=a*b%Mod;}
    TT inline void Mmod(T &a) {a=(a%Mod+Mod)%Mod;}
    TT inline T Cadd(T a,T b) {return a+b>=Mod?a+b-Mod:a+b;}
    TT inline T Cdel(T a,T b) {return a-b<0?a-b+Mod:a-b;}
    TT inline T Cmul(T a,T b) {return a*b%Mod;}
    TT inline T Cmod(T a) {return (a%Mod+Mod)%Mod;}
    TA inline void Madd(T &a,T b,Args... args) {Madd(a,Cadd(b,args...));}
    TA inline void Mdel(T &a,T b,Args... args) {Mdel(a,Cadd(b,args...));}
    TA inline void Mmul(T &a,T b,Args... args) {Mmul(a,Cmul(b,args...));}
    TA inline T Cadd(T a,T b,Args... args) {return Cadd(Cadd(a,b),args...);}
    TA inline T Cdel(T a,T b,Args... args) {return Cdel(Cdel(a,b),args...);}
    TA inline T Cmul(T a,T b,Args... args) {return Cmul(Cmul(a,b),args...);}
    TT inline T qpow(T a,T b) {int res=1; while(b) {if(b&1) Mmul(res,a); Mmul(a,a); b>>=1;} return res;}
    TT inline T qmul(T a,T b) {int res=0; while(b) {if(b&1) Madd(res,a); Madd(a,a); b>>=1;} return res;}
    TT inline T spow(T a,T b) {int res=1; while(b) {if(b&1) res=qmul(res,a); a=qmul(a,a); b>>=1;} return res;}
    TT inline void exgcd(T A,T B,T &X,T &Y) {if(!B) return X=1,Y=0,void(); exgcd(B,A%B,Y,X),Y-=X*(A/B);}
    TT inline T Ginv(T x) {T A=0,B=0; exgcd(x,Mod,A,B); return Cmod(A);}
    #undef TT
    #undef TA
}
using namespace MTool;

inline void file()
{
    freopen(".in","r",stdin);
    freopen(".out","w",stdout);
    return;
}

bool Mbe;

namespace LgxTpre
{
    static const int MAX=2000010;
    static const int inf=2147483647;
    static const int INF=4557430888798830399;
    
    int T,n,q,ans,op,x;
    map<int,int> m;
    
    namespace Sieve
    {
    	constexpr int N=1000000;
    	int d[N+10];
    	inline void Work()
    	{
    		for(int i=2;i<=N;++i)
    		{
    			if(d[i]) continue;
    			for(int j=i;j<=N;j+=i) d[j]=i;
			}
		}
	}
	using namespace Sieve;

    inline void lmy_forever()
    {
    	read(T),Sieve::Work();
    	while(T--)
    	{
    		auto getd=[&](int k,int tmp)->void
    		{
    			if(!tmp) m.clear(),ans=1;
    			while(k!=1)
    			{
    				int div=d[k],cnt=0;
    				while(k%div==0) k/=div,++cnt;
    				if(tmp) ans/=(m[div]+1),m[div]+=cnt,ans*=(m[div]+1); else m[div]=cnt,ans*=(cnt+1);
				}
			};
			read(n,q),getd(n,0);
    		for(int i=1;i<=q;++i)
    		{
    			read(op);
    			if(op==1)
    			{
    				read(x),getd(x,1);
    				int tmp=ans;
    				for(auto [div,tim]:m) while(tim&&ans%div==0) ans/=div,--tim;
    				puts(ans==1?"YES":"NO");
    				ans=tmp;
				}
				if(op==2) getd(n,0);
			}
			puts("");
		}
    }
}

bool Med;

signed main()
{
//  file();
    fprintf(stderr,"%.3lf MB\n",abs(&Med-&Mbe)/1048576.0);
    int Tbe=clock();
    LgxTpre::lmy_forever();
    int Ted=clock();
    cerr<<1e3*(Ted-Tbe)/CLOCKS_PER_SEC<<" ms\n";
    return (0-0);
}