题解：【ARC142D】 Deterministic Placing
大佬讲解的太精简了，做点蒟蒻视角的思考补充。下面记摆放棋子的点为黑点，没有摆放棋子的为白点。
因为进行无数次操作后，占据节点集合总是唯一，所以黑点一定是在反复横跳；每个位置上只能存在一个黑点，所以每次把移动黑点经过的边拿出来，得到的是若干条不相交的链，并且这些链一定可以将整棵树填满。转化问题变成求链的划分方案。
但是问题在于多种链的划分可能对应同一种摆放方式，我们最后要求的是有多少种摆放方式，所以需要接着转化问题。注意到如果将点而不是边视为链结构的话，那么这个结构即为一个白点后面跟一串黑点，于是便得到了抽象的模型：将白点视为箭头，黑点视为箭身和箭尾，于是得到了若干个 \(\rightarrow\)。那么每次操作可以抽象成所有点向着箭头方向走一步，然后将箭头翻转过来。
有了模型就可以考虑如何计数了，直接记 \(f_{i,0 \sim 7}\) 表示当前节点状态。
- 箭身，前面没接，后面没接。
- 箭身，前面接了，后面没接。
- 箭身，前面没接，后面接了。
- 箭身，前面接了，后面接了。
- 箭头，后面没接。
- 箭头，后面接了。
- 箭尾，前面没接。
- 箭尾，前面接了。
边界状态是 \(f_{i,0/4/6} = 1\)，因为一个节点初始可以作为任意一部分。
考虑不合法的拼接状态：
- 箭尾不能和箭尾相连。否则两条链可以直接视为一条链。
- 箭头不能和箭头相连。因为操作一次后反转箭头，箭头变成箭尾就等价于上面那种不合法状态。
- 箭身只能和箭身相连。如果和箭尾相连，那么从当前位置揭开，后面的箭身可以跟着另一条链走；箭头则是一样的，仍然是操作一次翻转变成箭尾，等价于前者的不合法情况。
dfs 遍历整棵树，需要一个中转数组暂时记录答案。根据儿子是什么状态来转移到自己是什么状态，同时刨除掉不合法的情况：
- 只能跟都接好了的箭身。
- 可以跟都接好了的箭身。也可以跟什么都没接的箭身，要让它变成前面接了的箭身，可以跟后面没接好的箭头，也可以接着跟前面接好的箭身。
- 可以跟都接好了的箭身。也可以跟什么都没接的箭身，要让它变成后面接了的箭尾，可以跟前面没接好的箭尾，也可以接着跟后面接好的箭身。
- 可以跟都接好了的箭身。可以从前面接好后面没接好的箭身转移而来，要让它变成都接好的箭身，这样后面可以跟前面没接好后面接好的箭身，也可以跟前面没接好的箭尾。可以从后面接好前面没接好的箭身转移而来，要让它变成前后都接好的箭身，这样后面可以跟后面没接好前面接好的箭身，也可以跟后面没接好的箭头。
- 只能跟钦定好了的接好前头的箭尾。
- 可以跟钦定好了的接好前头的箭尾。也可以从当前是后面没接的箭头转移过来，后面就可以跟接好后面没接前面的箭身，或者没接前面的箭尾。
- 只能跟接好了的箭头。
- 可以跟接好了的箭头。也可以从当前是前面没接的箭尾转移过来，后面就可以跟接好前面了的箭身，或者还没接好后面的箭头。
最后答案即为 \(f_{root,3} + f_{root,5} + f_{root,7}\)，复杂度 \(\mathcal O(n)\)，带一个奇大无比的转移常数。
#include<bits/stdc++.h>
#define ld long double
#define ui unsigned int
#define ull unsigned long long
#define int long long
#define eb emplace_back
#define pb pop_back
#define ins insert
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define power(x) ((x)*(x))
#define gcd(x,y) (__gcd((x),(y)))
#define lcm(x,y) ((x)*(y)/gcd((x),(y)))
#define lg(x,y) (__lg((x),(y)))
using namespace std;
namespace FastIO
{
template<typename T=int> inline T read()
{
T s=0,w=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) {if(c=='-') w=-1; c=getchar();}
while(isdigit(c)) s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48),c=getchar();
return s*w;
}
template<typename T> inline void read(T &s)
{
s=0; int w=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) {if(c=='-') w=-1; c=getchar();}
while(isdigit(c)) s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48),c=getchar();
s=s*w;
}
template<typename T,typename... Args> inline void read(T &x,Args &...args)
{
read(x),read(args...);
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch)
{
if(x<0) x=-x,putchar('-');
static char stk[25]; int top=0;
do {stk[top++]=x%10+'0',x/=10;} while(x);
while(top) putchar(stk[--top]);
putchar(ch);
return;
}
}
using namespace FastIO;
namespace MTool
{
#define TA template<typename T,typename... Args>
#define TT template<typename T>
TT inline void Swp(T &a,T &b) {T t=a;a=b;b=t;}
TT inline void cmax(T &a,T b) {a=a>b?a:b;}
TT inline void cmin(T &a,T b) {a=a<b?a:b;}
struct ModNum
{
struct fastmod
{
using u128=__uint128_t; using u64=uint64_t; using u32=signed;
u32 f,l; u64 m,d;
fastmod(u64 D=998244353):d(D)
{
const u128 ONE=1;
l=64-__builtin_clzll(d-1);
u128 M=((ONE<<(64+l))+(ONE<<l))/d;
if(M<(ONE<<64)) f=1,m=M; else f=0,m=M-(ONE<<64);
}
inline friend u64 operator / (u64 x,const fastmod &y)
{
if(y.f) return u128(x)*y.m>>64>>y.l;
else return (((x-(u128(x)*y.m>>64))>>1)+(u128(x)*y.m>>64))>>(y.l-1);
}
inline friend u64 operator % (u64 x,const fastmod &y)
{
return x-x/y*y.d;
}
inline friend u64 operator + (u64 x,const fastmod &y) {return x+y.d;}
inline friend u64 operator - (u64 x,const fastmod &y) {return x-y.d;}
inline friend bool operator == (u64 x,const fastmod &y) {return x==y.d;}
inline friend bool operator > (u64 x,const fastmod &y) {return x>y.d;}
inline friend bool operator < (u64 x,const fastmod &y) {return x<y.d;}
inline friend bool operator >= (u64 x,const fastmod &y) {return x>y.d||x==y.d;}
inline friend bool operator <= (u64 x,const fastmod &y) {return x<y.d||x==y.d;}
};
fastmod Mod;
inline void ChangeMod(int MOD){Mod=MOD;}
TT inline void Madd(T &a,T b) {a=a+b>Mod?a+b-Mod:a+b;}
TT inline void Mdel(T &a,T b) {a=a-b<0?a-b+Mod:a-b;}
TT inline void Mmul(T &a,T b) {a=a*b%Mod;}
TT inline void Mmod(T a) {a=(a%Mod+Mod)%Mod;}
TT inline T Cadd(T a,T b) {return a+b>=Mod?a+b-Mod:a+b;}
TT inline T Cdel(T a,T b) {return a-b<0?a-b+Mod:a-b;}
TT inline T Cmul(T a,T b) {return a*b%Mod;}
TT inline T Cmod(T a) {return (a%Mod+Mod)%Mod;}
TA inline void Madd(T &a,T b,Args... args) {Madd(a,Cadd(b,args...));}
TA inline void Mdel(T &a,T b,Args... args) {Mdel(a,Cadd(b,args...));}
TA inline void Mmul(T &a,T b,Args... args) {Mmul(a,Cmul(b,args...));}
TA inline T Cadd(T a,T b,Args... args) {return Cadd(Cadd(a,b),args...);}
TA inline T Cdel(T a,T b,Args... args) {return Cdel(Cdel(a,b),args...);}
TA inline T Cmul(T a,T b,Args... args) {return Cmul(Cmul(a,b),args...);}
TT inline T qpow(T a,T b) {int res=1; while(b) {if(b&1) Mmul(res,a); Mmul(a,a); b>>=1;} return res;}
TT inline T qmul(T a,T b) {int res=0; while(b) {if(b&1) Madd(res,a); Madd(a,a); b>>=1;} return res;}
TT inline T spow(T a,T b) {int res=1; while(b) {if(b&1) res=qmul(res,a); a=qmul(a,a); b>>=1;} return res;}
private:TT inline void exgcd(T A,T B,T &X,T &Y) {if(!B) return X=1,Y=0,void(); exgcd(B,A%B,Y,X),Y-=X*(A/B);}
public:TT inline T Ginv(T x) {T A=0,B=0; exgcd(x,Mod,A,B); return Cmod(A);}
#undef TT
#undef TA
};
}
using namespace MTool;
inline void file()
{
freopen(".in","r",stdin);
freopen(".out","w",stdout);
return;
}
bool Mbe;
namespace LgxTpre
{
static const int MAX=200010;
static const int inf=2147483647;
static const int INF=4557430888798830399;
static const int mod=1e9+7;
static const int bas=131;
ModNum M;
int n,x,y;
vector<int> G[MAX];
int f[MAX][8],g[8],u,v;
inline void calc(int x,int y,int z) {M.Madd(g[x],M.Cmul(f[u][y],f[v][z]));}
void dfs(int now,int father)
{
f[now][0]=f[now][4]=f[now][6]=1;
for(auto to:G[now]) if(to!=father)
{
dfs(to,now),u=now,v=to;
memset(g,0,sizeof g);
calc(0,0,3);
calc(1,1,3),calc(1,0,4),calc(1,0,1);
calc(2,2,3),calc(2,0,6),calc(2,0,2);
calc(3,3,3),calc(3,2,4),calc(3,1,6),calc(3,1,2),calc(3,2,1);
calc(4,4,7);
calc(5,5,7),calc(5,4,2),calc(5,4,6);
calc(6,6,5);
calc(7,7,5),calc(7,6,1),calc(7,6,4);
memcpy(f[now],g,sizeof f[now]);
}
}
inline void lmy_forever()
{
M.ChangeMod(998244353);
read(n);
for(int i=1;i<n;++i) read(x,y),G[x].eb(y),G[y].eb(x);
dfs(1,0);
write(M.Cadd(f[1][3],f[1][5],f[1][7]),'\n');
return;
}
}
bool Med;
signed main()
{
// file();
fprintf(stderr,"%.3lf MB\n",abs(&Med-&Mbe)/1048576.0);
int Tbe=clock();
LgxTpre::lmy_forever();
int Ted=clock();
cerr<<1e3*(Ted-Tbe)/CLOCKS_PER_SEC<<" ms\n";
return (0-0);
}
