有关整点凸包边上点数数量级的证明

来自 U群 Itst 的证明。

钦定点的值域为 \([0,R]\)。首先只考虑右下凸包，即凸包上斜率大于 \(0\) 且严格递增的部分。由于不存在三点共线，所以斜率互不相同。设右下角凸包点数上界为 \(T\)，则整个凸包点数上界为 \(4T\)。

将右下凸包上的点按照横坐标排序，记第 \(i\) 个点的坐标为 \((x_i,y_i)\)。

取两个相邻的点 \(u(x_i,y_i),v(x_{i+1},y_{i+1})\)，不妨设 \(\scr l_{uv}\) 的斜率为 \(\dfrac{p_i}{q_i}\)，这里是一个既约分数。由右下凸包，我们可以得到 \((x_{i+1} + y_{i+1}) - (x_i + y_i) \geq p + q\)。

推广到整个右下凸包上的点，我们可以得到：

\[(x_T + y_T) - (x_1 + y_1) \geq \sum_{i = 1}^{T - 1} p_i + q_i \]

又因为有：

\[(x_T + y_T) - (x_1 + y_1) \leq 2 \times R \]

接下来需要证明的是分子分母和 前 \(i\) 小的既约分数 的分子分母和超过 \(2 \times R\)。

构造一个下标从 \(1\) 开始的不降自然数序列 \(P\) 使得对于 \(i \geq 1,\dfrac{i \times (i - 1)}{2} < j \leq \dfrac{i \times (i + 1)}{2}\)，有 \(P_j = i\)。

记 \(S_i\) 表示 分子分母和 前 \(i\) 小的既约分数 的分子分母和，\(sum_{P_i}\) 为序列 \(P\) 前 \(i\) 项的和，有 \(S_i \geq sum_{P_i}\)。因为要证 \(S_T \geq 2 \times R\)，所以只需要证明 \(sum_{P_T} \geq 2 \times R\)。

取 \(t = \lfloor \sqrt{T} \rfloor\)，有：

\[sum_{P_T} \geq sum_{P_{\frac{t \times (t + 1)}{2}}} \]

又有：

\[sum_{P_{\frac{t \times (t + 1)}{2}}} = \sum_{i = 1}^t i^2 = \dfrac{t \times (t + 1) \times (2t + 1)}{6} \]

带入 \(T = 4 \times R^{\frac{2}{3}}\)，得到：

\[sum_{P_T} \geq \dfrac{16 \times R}{6} \geq 2 \times R \]

故得证命题：坐标范围为 \([0,R]\) 的整点凸包在不存在三点共线的前提下，凸包上的点数为 \(R^{\frac{2}{3}}\) 量级。