有关整点凸包边上点数数量级的证明

来自 U群 Itst 的证明。

钦定点的值域为 $[0,R]$。首先只考虑右下凸包，即凸包上斜率大于 $0$ 且严格递增的部分。由于不存在三点共线，所以斜率互不相同。设右下角凸包点数上界为 $T$，则整个凸包点数上界为 $4T$。

将右下凸包上的点按照横坐标排序，记第 $i$ 个点的坐标为 $(x_i,y_i)$。

取两个相邻的点 $u(x_i,y_i),v(x_{i+1},y_{i+1})$，不妨设 $\scr l_{uv}$ 的斜率为 $\dfrac{p_i}{q_i}$，这里是一个既约分数。由右下凸包，我们可以得到 $(x_{i+1} + y_{i+1}) - (x_i + y_i) \geq p + q$。

推广到整个右下凸包上的点，我们可以得到：

$$(x_T + y_T) - (x_1 + y_1) \geq \sum_{i = 1}^{T - 1} p_i + q_i$$

又因为有：

$$(x_T + y_T) - (x_1 + y_1) \leq 2 \times R$$

接下来需要证明的是分子分母和 前 $i$ 小的既约分数 的分子分母和超过 $2 \times R$。

构造一个下标从 $1$ 开始的不降自然数序列 $P$ 使得对于 $i \geq 1,\dfrac{i \times (i - 1)}{2} < j \leq \dfrac{i \times (i + 1)}{2}$，有 $P_j = i$。

记 $S_i$ 表示 分子分母和 前 $i$ 小的既约分数 的分子分母和，$sum_{P_i}$ 为序列 $P$ 前 $i$ 项的和，有 $S_i \geq sum_{P_i}$。因为要证 $S_T \geq 2 \times R$，所以只需要证明 $sum_{P_T} \geq 2 \times R$。

取 $t = \lfloor \sqrt{T} \rfloor$，有：

$$sum_{P_T} \geq sum_{P_{\frac{t \times (t + 1)}{2}}}$$

又有：

$$sum_{P_{\frac{t \times (t + 1)}{2}}} = \sum_{i = 1}^t i^2 = \dfrac{t \times (t + 1) \times (2t + 1)}{6}$$

带入 $T = 4 \times R^{\frac{2}{3}}$，得到：

$$sum_{P_T} \geq \dfrac{16 \times R}{6} \geq 2 \times R$$

故得证命题：坐标范围为 $[0,R]$ 的整点凸包在不存在三点共线的前提下，凸包上的点数为 $R^{\frac{2}{3}}$ 量级。