题解：樱花

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前言

这是一道混合背包的问题，其他题解讲述的十分清晰，但在多重背包的问题上大多只是使用了二进制拆分优化，本篇文章将以通俗易懂的方法讲解单调队列优化多重背包，因此默认大家已经掌握了背包的知识，推荐大家拿着笔推一推式子。

前置知识

• 多重背包

• 优先队列

什么样的 DP 可以使用单调队列优化

状态转移方程形如：

$$F_i = \max / \min_{j=l_i}^{i-1} \{ {g_j} \} + w_i \quad l_i \leqslant l_{i+1}$$

翻译成人话意思就是对于序列中的点，决策区间随着序列下标的增大从左向右进行转移，类似于一个窗口从左向右进行滑动。如果存在 $i_1 \lt i_2$ ，且 $g_{i_1}$ 劣于 $g_{i_2}$ 。那么当窗口滑动到 $i_2$ 时，$i_1$ 永远不会成为最优决策点，此时这个点也将不用进行转移了。

一个人如果比你小还比你强，那么你就可以退役了。

对此我们可以维护一个下标递增的单调队列，使队头一直保持最优转移。每次从队尾判断，若已经不可能成为最优决策就弹出。特别的，当队头超出了所在的新区间，因为下标单调递增，以后它也不可能回到这个区间，这时我们还需要将队头弹出。这样每次转移之后，我们只需要取出队头，队头就是最优解。

保持单调性的方法非常简单，在新的队尾入队前，要先将劣于它的元素从尾部弹出；“窗口”滑动之后，要检查队头是否合法，如果不合法要从队头弹出。因此一般使用双端队列或者直接数组模拟。

单调队列优化多重背包

记总共有 $N$ 种物品，每种物品中一个物品的体积为 $V_i$ ，价值为 $W_i$ ，数量为 $C_i$ , $F_{i,j}$ 为前 $i$ 件物品选出总重量为 $j$ ， DP 值表示最大价值。

容易得出多重背包的状态转移方程为：

$$F_{i,j} = \max_{1 \leqslant k \leqslant C_i} \{F_{i - 1,j - k * V_i} + k * W_i\}$$

这个东西看起来可能不是很清晰，我们把它分成一项一项来看：

$$F_{i,j} = \max \{ F_{i-1,j} , F_{i-1,j-v}+w , F_{i-1,j-2v}+2w , \cdots , F_{i-1,j-kv}+kw \}$$

$$F_{i,j-v} = \max \{F_{i-1,j-v} , F_{i-1,j-2v}+w , \cdots , F_{i-1,j-kv}+(k-1)w , F_{i-1,j-(k+1)v}+kw \}$$

$$\cdots$$

可以发现对于任何一个 $F_{i,j}$ 是由它前面的 $(k+1)$ 项形如 $F_{i - 1,j - k * V_i} + k * W_i$ 的式子转移而来，直到背包的体积不能再用。

但是，这个队列中前面的数，每次都会增加一个 $w$ ，所以我们需要做一些转换。

不妨设 $j=k' * V_i +d$ ，其中 $k'$ 表示的是 $j$ 重量所能装下的该物品最大数量， $d$ 则是余数。可以得到：

$$F_{i,j} = \max_{1 \leqslant k \leqslant C_i} \{F_{i - 1,k' * V_i +d - k * V_i} + k * W_i\}$$

$$F_{i,j} = \max_{1 \leqslant k \leqslant C_i} \{F_{i - 1,(k'-k) * V_i +d} + k * W_i\}$$

$$F_{i,j} = \max_{1 \leqslant k \leqslant C_i} \{F_{i - 1,(k'-k) * V_i +d} + k * W_i - k' * W_i + k' * W_i \}$$

$$F_{i,j} = \max_{1 \leqslant k \leqslant C_i} \{F_{i - 1,(k'-k) * V_i +d} + (k'-k) * W_i \} + k' * W_i$$

对于每一种余数 $d$ 我们可以维护一个单调队列，因为通过式子可以看出不同余数之间的状态不会互相转移，这样我们就可以在线性的时间里求出在第 $i$ 个物品时，对于 $j \equiv d (\mod V_i )$ 的 $F_{i,j}$ 最大值。

时间复杂度 $O(NV)$ ，空间复杂度 $O(NV)$ 。

二维数组代码：

int n,V,v[MAX],w[MAX],c[MAX];  
	int f[MAX][MAX],q[MAX];   //数组模拟单调队列 
	cin>>n>>V;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>v[i]>>w[i]>>c[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<v[i];j++)  //枚举余数
		{
			int head=0,tail=-1;
			for(int k=j;k<=V;k+=v[i])
			{
				//(j-q[tail])/v[i] 以及下面的 (j-q[head])/v[i] 对应的都是每一个k' 
				//超出可取范围，弹出队头  
				while(head<=tail&&(k-q[head])/v[i]>c[i]) head++;   
				//当前队尾解劣于新解，全部弹出
				while(head<=tail&&f[i-1][q[tail]]+(k-q[tail])/v[i]*w[i]<=f[i-1][k]) tail--;   
				q[++tail]=k;
				//每次更新直接取出队头最优解 
				f[i][k]=f[i-1][q[head]]+(k-q[head])/v[i]*w[i]; 
			}
		} 
	cout<<f[n][V];

空间上的进一步优化

虽然时间优秀了，但是空间还不够优秀。

因为第 $i$ 层的状态只会用到第 $i-1$ 层，我们可以把这个式子用优化完全背包的思路压成一维，倒着向回推一边。考虑倒序枚举背包体积，对于每种余数 $d \in [0 , V_i-1]$ ，倒序循环 $k = \lfloor (V-d) / V_i \rfloor \sim 0$ ,这样就可以得到一个新的状态转移方程。

$$F_{d + k * V_i} = \max_{k-C_i \leqslant k' \leqslant k-1} \{ F_{d + k' * V_i} +( k - k') * W_i \}$$

这样我们就可以得到一个空间复杂度为 $O(V)$ 的更优秀算法。

一维数组代码：

int n,V,v[MAX],w[MAX],c[MAX];  
	int f[MAX],q[MAX],g[MAX];   //数组模拟单调队列 
	cin>>n>>V;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>v[i]>>w[i]>>c[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memcpy(g,f,sizeof g);
		for(int j=0;j<v[i];j++)  //枚举余数
		{
			int head=0,tail=-1;
			for(int k=j;k<=V;k+=v[i])
			{
				while(head<=tail&&(k-q[head])/v[i]>c[i]) head++;
				while(head<=tail&&g[q[tail]]+(k-q[tail])/v[i]*w[i]<=g[k]) tail--;
				q[++tail]=k;
				f[k]=g[q[head]]+(k-q[head])/v[i]*w[i];
			}
		} 
	}
	cout<<f[V];

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define MAX 10010
using namespace std;

inline int read()
{
	int s=0,w=1;
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) (c=='-')?w=-1:w=1,c=getchar();
	while(isdigit(c)) s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48),c=getchar();
	return s*w;
}

int t1,t2,t3,t4,V;
int n,c[MAX],w[MAX],v[MAX];
int f[MAX],g[MAX];

inline void Zerone_Bag(int i)
{
	for(int k=V;k>=w[i];k--)
		f[k]=max(f[k],f[k-w[i]]+v[i]);
	return;
}
inline void Full_Bag(int i)
{
	for(int k=w[i];k<=V;k++)
		f[k]=max(f[k],f[k-w[i]]+v[i]);
	return;
}
inline void Multiple_Bag(int i)
{
	int q[MAX];
	memcpy(g,f,sizeof g);
	for(int j=0;j<w[i];j++)
	{
		int head=0,tail=-1;
		for(int k=j;k<=V;k+=w[i])
		{
			while(head<=tail&&(k-q[head])/w[i]>c[i]) head++;
			while(head<=tail&&g[q[tail]]+(k-q[tail])/w[i]*v[i]<=g[k]) tail--;
			q[++tail]=k;
			f[k]=g[q[head]]+(k-q[head])/w[i]*v[i];
		}
	}
	return;
}

int main()
{
	t1=read(),t2=read(),t3=read(),t4=read();
	V=(t3*60+t4)-(t1*60+t2);
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		w[i]=read(),v[i]=read(),c[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(c[i]==0) Full_Bag(i);
		if(c[i]==1) Zerone_Bag(i);
		if(c[i]>=2) Multiple_Bag(i);
	}
	cout<<f[V];
	return (0-0);
}

参考资料

多重背包优化

李煜东 《算法竞赛进阶指南》