洛谷 P3422 [POI2005]LOT-A Journey to Mars 题解
P3422 [POI2005]LOT-A Journey to Mars 题解
前言
了解过单调队列嘛?如果还没有的话,建议做完 P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列 再做此题。
思路
No. 1 破环成链
首先题目给的是环,自然要破环成链,我最喜欢的一种方式是,复制一份,如下图。
淡黄色为每次遍历经过的点,可以发现,和环形的遍历是等价的。
No. 2 怎么想到用单调队列的?
\(p_i\) 存下第 \(i\) 个加油站的油量,\(d_i\) 表示第 \(i\) 个加油站和第 \((i+1) \operatorname{mod}\ n\) 个加油站的距离(模 \(n\) 的原因是最后一个加油站和第一个加油站是相邻的),以下图为例:
下面展示分析问题的过程
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先以顺时针为例,如果想要转完一圈,就必须保证每一步都可以到达下一个加油站,比如:想要从第一个加油站走到第二个加油站,就必须满足 \(p_1 - d_1 \ge 0\),类似地,想要从第一个加油站走到第三个加油站,就必须满足 \(p_1 - d_1 \ge 0\) 且 \(p_1 + p_2 - d_1 - d_2 \ge 0\),可知如果想走完一圈,也就是从第一个加油站走到第 \(n\) 个加油站,就必须满足 \(\forall\ k \in [1,n],\ \sum\limits _{i=1}^{k}p_i - \sum\limits _{i=1}^{k}t_i \ge 0\)
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那么如何快速求出式子呢,你一定最先想到前缀和,那么我们令 \(s_i\) 表示 \(\sum\limits _{j=1}^{i}p_j - \sum\limits _{j=1}^{i}t_j\)。那么对于第 \(i\) 个加油站,只需要满足 \(\forall\ k \in [i,i + n],\ s_k - s_{i-1} \ge 0\)。
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你会发现每一个前缀和都要判断,有没有一种方法,使得只用判断一次呢?可以发现,只需要让所有的 \(s_k\) 中最小的那个满足 \(s_k - s_{i-1} \ge 0\) 即可。
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也就是说,当前最大的问题是如何快速找到最小的 \(s_k\),于是就很自然地想到了单调队列,用一个单调队列维护前缀和的最小值。
No. 3 细节多
顺时针 | 逆时针 |
---|---|
维护该点往后的 \(n\) 个点的前缀和,所以要从后往前遍历 | 维护该点往前的 \(n\) 个点的前缀和,所以要从前往后遍历 |
\(s_i = p_i - d_i\) | \(s_i = p_i - d_{i-1},\ d_0 = d_n\) |
维护 \(s_k\) 的最小值(原因见后文) | 维护 \(s_k\) 的最大值(原因见后文) |
先出队再更新 | 先更新再出队 |
当遍历到 \(i \le n\) 的加油站再更新答案 | 当遍历到 \(i > n\) 的加油站再更新答案 |
对于第三条,放一个图,就能明白了
Code
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e6 + 10;
int n;
int p[N], d[N];
LL s[N];
int q[N];
bool ans[N];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> p[i] >> d[i];
//顺时针
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
s[i] = s[i + n] = p[i] - d[i]; //对应细节2
for (int i = 1; i <= n * 2; i ++ )
s[i] += s[i - 1];
int hh = 0, tt = -1;
for (int i = n * 2; i; i -- ) //对应细节1
{
if (hh <= tt && q[hh] >= i + n) hh ++ ;
while (hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt -- ; //对应细节3,细节4
q[ ++ tt] = i;
if (i <= n) //对应细节5
{
if (s[q[hh]] - s[i - 1] >= 0) ans[i] = true;
}
}
//逆时针
d[0] = d[n]; //对应细节2
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
s[i] = s[i + n] = p[i] - d[i - 1]; //对应细节2
for (int i = 1; i <= n * 2; i ++ )
s[i] += s[i - 1];
hh = 0, tt = -1;
for (int i = 1; i <= n * 2; i ++ ) //对应细节1
{
if (hh <= tt && q[hh] < i - n) hh ++ ;
if (i > n) //对应细节5
{
if (s[i] - s[q[hh]] >= 0) ans[i - n] = true;
}
while (hh <= tt && s[q[tt]] <= s[i]) tt -- ; //对应细节3,细节4
q[ ++ tt] = i;
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (ans[i]) cout << "TAK" << endl;
else cout << "NIE" << endl;
return 0;
}
后语
我在写这篇题解的时候有一个小插曲,让我 debug 了好长时间,在此分享一下
错误的写法
while (hh <= tt && s[q[tt] <= s[i]]) tt -- ;
正确的写法
while (hh <= tt && s[q[tt]] <= s[i]) tt -- ;
可太难调了捏~
制作不易,盼君一赞。
完结撒花!!