洛谷 P3579 [POI2014]PAN-Solar Panels 蓝 题解

P3579 题解

前言

感觉大部分题解讲的不是很清楚，在 \(haosen\) 的讲解中，我才会了这道题……

思路

看到数据范围，线性必然超时，那么复杂度一般就为 \(O(\log n)\) 或者 \(O(\sqrt{n})\)，又看到这是一个数学题，心里应该有暗示，可能会用到整数分块。

不过第一件事总是：挖掘性质！

你会发现，对于任意一个数 \(x\)，如果 \(a \sim b\) 中存在一个数是 \(x\) 的倍数，且 \(c \sim d\) 中存在一个数是 \(x\) 的倍数，那么 \(x\) 就为一个合法的答案，但可能不是最优的。这个比较简单，就不赘述了。

那就直接枚举答案 \(x\)，从 \(1\) 到 \(\min(b,d)\) 枚举，逐个判断 \(x\) 合不合法，取最大值。

显然这样做是超时的。

其实如果 \(x\) 是合法的，只需要满足：

\[\begin{cases} \left\lfloor \dfrac{b}{x} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{a-1}{x} \right\rfloor \ge 1 \\ \left\lfloor \dfrac{d}{x} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{c-1}{x} \right\rfloor \ge 1 \end{cases} \]

为什么？我们就拿第一个不等式举例子：\(\left\lfloor \dfrac{b}{x} \right\rfloor\) 表示 \(1 \sim b\) 中有几个数是 \(x\) 的倍数，同理，\(\left\lfloor \dfrac{a-1}{x} \right\rfloor\) 表示 \(1 \sim a-1\) 中有几个数是 \(x\) 的倍数。两式相减，就得到了 \(a \sim b\) 中有几个数是 \(x\) 的倍数，只要有一个数是 \(x\) 的倍数，就满足答案。第二个不等式同理。

我们还是拿第一个不等式为例，进行化简：

\(\left\lfloor \dfrac{b}{x} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{a-1}{x} \right\rfloor \ge 1 \Rightarrow \left\lfloor \dfrac{b}{x} \right\rfloor \ge 1 + \left\lfloor \dfrac{a-1}{x} \right\rfloor \Rightarrow \left\lfloor \dfrac{b}{x} \right\rfloor > \left\lfloor \dfrac{a-1}{x} \right\rfloor\)

接下来，我认为是最难的一步，考虑 \(\left\lfloor \dfrac{b}{x} \right\rfloor > \left\lfloor \dfrac{a-1}{x} \right\rfloor\) 还能怎么化简。

如果我们把除以 \(x\) 得到的商相等的所有数都合并成一个块儿，并把每个块儿按顺序编号，那么这个式子就表示 \(b\) 所在的块的编号要严格大于 \(a-1\) 所在的块。

式子就可以变成这样：\(x\left\lfloor \dfrac{b}{x} \right\rfloor > a-1\)

为啥要变成这样？方便整数分块！现在只需要对 \(\left\lfloor \dfrac{b}{x} \right\rfloor\) 整数分块就行哩~

最后的最后，要满足的条件其实就变成了：

\[\begin{cases} x\left\lfloor \dfrac{b}{x} \right\rfloor > a-1\\ x\left\lfloor \dfrac{d}{x} \right\rfloor > c-1 \end{cases} \]

Code

#include <iostream>

using namespace std;

int T; 
int a, b, c, d, ans;

int main()
{
	cin >> T;
	while (T -- )
	{
		cin >> a >> b >> c >> d;
		for (int L = 1, R = 1; L <= min(b, d); L = R + 1)
		{
			R = min(b / (b / L), d / (d / L));
			if (R * (b / R) > a - 1 && R * (d / R) > c - 1) ans = R;
		}
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}

总结

先明确大方向，再进行分析，最后优化。

完结撒花！