《模型思考者》（The Model Thinker: What You Need to Know to Make Data Work for You）笔记
一、把思考正规化
什么是模型呢？如果“多样性”说的是观察问题的“视角”，“模型”说的就是研究问题的“镜头”。你可能知道投资者查理·芒格喜欢谈论“思维模型”，不过在我看来那其实是一些理解和思考的套路，相当于是新时期的成语典故。佩奇说的模型要高级得多，是学者们使用的那种正规的“理论模型”。
想要理解这个武器级的概念，你的思维方式需要先升级。
0x1：什么是模型？
要想用高级方法研究问题，你得把思考给正规化。咱们举个例子。
一个小孩踢足球，他竭尽全力也没踢出去多远，他踢不动。而一个大人飞起一脚，球就会被踢得很远。有人对这个现象总结了一个规律，说踢球的力量越大，球飞得就越远。
这是很不错的观察和思考。足球运动员通过训练能对“球性”有深刻的体察，但是如果你让他谈谈力量和距离的关系，他大约就只能说到这个程度。各种成语典故，什么唇亡齿寒、扬汤止沸，包括古代军事将领写的兵书战策，什么《孙子兵法》，也都是这个水平的思考。这些思考都是有用的……但是，这种思考方式太落后了。
首先它不精确。我把力量增大一倍，球的飞行距离能增加多少呢？你无法计算。其次它没有适用范围。这个道理一直都对吗？在什么情况下会不好使呢？你无从判断。
复杂世界里的现代人，可不能靠成语典故和寓言故事指导决策。那种水平的思考没有精致推演的能力。
现代学者都使用更高级的思考方式。
最起码的一点就是一个数学公式能抵千言万语。想要知道踢球的力量和球的飞行距离的关系，我们首先用牛顿第二定律公式描写力量和加速度的关系，然后通过加速度和触球时间计算速度，再考虑地球引力和空气阻力……这听起来比较麻烦，但是这一套思考允许你做精致的推演。
这就是思考方式的正规化。请注意，你思考的其实已经不是那个具体的球和那个具体的踢球者了，你思考的是一个抽象出来的踢球模型。
模型是对真实世界的抽象。我们以前讲过“逻辑思维”，我们知道，只有抽象的东西，才是属于逻辑世界的。建立了模型，你才能做推演。
模型必须符合两个要求。
- 第一，模型中包含的各种实体，人也好、组织也好、物品也好，以及这些实体之间的相互关系，必须都有非常明确的定义。
- 第二，模型可以做逻辑推导。
其实你每次做数学应用题，都是在使用一个模型。你知道题目包含什么假设，有什么因果关系，就能用数学推导出一个结果。
正规化就是抽象化，抽象化才能可推导，而可推导是个非常厉害的能力。一旦思维上升到模型的高度，你就不再是老百姓水平了，一般的道理就骗不了你。
比如美国共和党总统都喜欢减税，一般讲的故事是减了税，老百姓的钱就多了；老百姓钱多了，就可以扩大消费，经济就会增长；经济增长蛋糕做大了，政府的税收反而会增加……你听着好像挺有道理。
可是咱们用一个最简单的数学模型推导一下。假设税率降低10%，那么要想收到跟原来一样多的税，经济必须增长10%以上才行……可是近年来美国经济最高也就增长4%左右，真要到10%那是一个奇迹！
当然真正研究经济问题需要更复杂的模型，但是这个道理是我们需要模型，而不是故事。下面咱们讲一个真实的应用，看看模型思维的威力。
0x2：洞见本质
2008年金融危机期间，美国财政部在关键时刻出手，购买了AIG公司（美国国际集团，American International Group）的资产，使得 AIG 没有倒闭，保住了它。
这个救援行动遭到了各方的猛烈批评。有人说这等于是政府直接干预经济，违背了自由市场的理念，这还叫资本主义吗？有人说雷曼兄弟公司你为啥就不救援呢？结果雷曼破产了AIG没事，这公平吗？
美国政府行事的逻辑在哪呢？讲故事不如看模型。下面这张图是当时国际货币基金组织搞的一个模型，描写了各大金融机构之间的网络关系，
各个机构之间的连线代表他们的关联，连线越粗越越深，关联就越强。AIG处在这张关系网的一个中心位置。有好几个金融机构购买了AIG提供的资产保险，如果他们资产的价值下降，AIG会给他们兜底。
有了这个模型，我们就可做推演了。我们可以想象，如果AIG倒闭会发生什么？使用数学推导，我们知道其他那些机构就会拿不到保险金，那么他们也会跟着倒闭，结果就可能是灾难性的连锁反应。AIG是“大到不能倒”，这就是为什么要救AIG。那为什么不救雷曼兄弟呢？因为模型中雷曼兄弟并不具有AIG这么核心的位置。
事实证明雷曼兄弟的倒闭并没有牵扯到整个金融系统，模型的预测可以说是准确的。金融危机过去之后，美国政府又卖掉了AIG的资产，一进一出从中还净挣了230亿美元……可以说当初救援AIG是一个正确的决定。
模型帮我们看清了各个金融机构之间关系的本质。如果没有这个模型，你光说AIG很重要，就不足以做出这种精确而大胆的操作。但是问题来了，当初为什么要选择这个模型呢？
为什么不考虑各个金融机构高官的任职情况呢？为什么不考虑这些机构在历史上对美国所做的贡献呢？为什么不考虑对舆论的影响呢？
简单地说，只看关系模型，是因为你想要的只是金融市场的稳定。不简单地说，忽略其他因素，这是一个非常主观的冒险选择。
选择模型，你需要智慧。
0x3：从数据到智慧
为了进一步理解模型，我们考虑一个认知上的金字塔。
- 金字塔的最底层是数据。数据代表各种事件和现象，比如你出门看见下雨了，这就是一个数据。数据本身没有组织和结构，也没有意义。数据只能告诉你发生了什么，并不能让你理解为什么会发生。
- 数据的上一层是信息。信息是结构化的数据。你看见下雨只是数据，但如果有人统计哈尔滨市在2019年7月份这一个月总共下了多少雨，这就不是简单的数据了，而是信息。信息是很有用的，可以用来做分析和解读。
- 信息再往上一层是知识。知识能把信息组织起来，告诉我们事件之间的逻辑联系。有云导致下雨，因为下雨所以天气变得凉快，这都是知识。成语典故和思维套路都是知识。模型，则可以说是一种高级知识，能解释一些事情，还能做预测。
- 认知金字塔的最上一层，是智慧。智慧是识别和选择相关知识的能力。
你可能掌握很多模型，但是具体到这个问题到底该用哪个模型，敢不敢用这个模型，则是智慧。
佩奇举了一个例子。一只小猫从4000米的高空掉下来，请问它会给地面造成什么样的危害？你得先选一个模型。
用最简单的重力加速度模型，你会发现小猫触地之前的速度非常非常快，它会在地上砸出一个大坑。但是用一个更复杂的模型，考虑到空气阻力，物体在大气层中的掉落速度其实会趋向一个恒定的数值，并没有那么快，那么这个危害就不会很大。如果掉下来的是一只小老鼠，甚至可能都不会死。
从数据到智慧，这是真正意义上的认知升级。
- 如果一个人浑浑噩噩地混日子，只体验而不知道总结，他得到的就只有数据。
- 有人偶尔看看新闻，知道现在发生的事情都是什么意思，他就获得了信息。
- 有人能从经验中总结一些规律，还从书本上学到一些说法，他就拥有了知识。
- 那为什么有很多人说“学了很多知识，却仍然过不好这一生”呢？因为有知识不等于有智慧。有智慧，会选择该用哪个知识，能使用模型做出决策，而且还真敢去执行，那才是真本事。
从数据到智慧，你会发现越往上就越主观。信息已经是个性化的总结。知识中的因果关系已经是主观的判断。而智慧，更可以说是一种艺术。到底该选哪个模型？没有固定的操作流程。
经济学家有句名言说“所有模型都是错的，其中有一些是有用的。”模型说的不是真实世界，而是对真实事件的抽象和简化。你必须忽略很多因素，才能让问题可以推演。而这么做的危险是你可能得到完全错误的结论。
所以你需要了解每个模型的优点和局限性。你需要有举一反三的能力。你需要有创造性。延续《多样性视角》的逻辑，佩奇特别强调，你有时候需要同时使用多个模型，才能做出准确的预测和判断。
总结来说，模型是对真实世界的一种主观抽象描写，代表正规化的思考。模型通过严谨的定义和数学逻辑关系，允许我们做精致的推演，从而获得精确交流、解释、判断、设计、预测、探索和采取行动的能力。而选择什么样的模型、选择一个还是几个模型，则是智慧。
二、怎样研究”人“
在讲具体的模型之前，咱们先统一解决一个大问题，那就是如何对“人”进行建模：如何研究人。
我们即将钻研的大多数模型中都会有人。不管你要观察社会也好，玩转世界也好，制定政策也好，都需要分析人、琢磨人。那人到底是什么样的呢？人们大约有两种态度。
- 一种态度认为人是简单的。有些领导认为人就应该令行禁止如臂使指，有些人认为人就是一群乌合之众……传统的经济学家有个“理性人”假设，也相当于是一种简单化。而近年以来，很多“行为经济学家”认为这是不对的，人没有那么理性，人有各种非理性的偏见。
- 第二种态度认为人是非常复杂的。正所谓“人心难测”，一切描写人的模型都存在漏洞。但是我感觉这个态度其实是智识上的懒惰：你一句“人是复杂的”，别人说啥都不对，那你倒是说个对的啊？
到底应该怎么研究人呢？我读佩奇这本书得到一个洞见。
你不应该笼统地问“人是什么样”。你应该问的是在你研究的这个局面中，在这件具体的事情上，人是什么样的。人做某些事情的时候很聪明，做另一些事情则很不聪明，因为根本不需要聪明。
是局面决定了人。抓住这一点，你就会对“人”有一个非常好的敏感度。
0x1：人可以是什么
要想研究人，你得有个上帝视角。你得有个足够大的心脏，敢从人群中跳出来，把“人”当做你的研究对象。不要被“人”所吓倒！咱们先来探讨一下人这种东西的复杂度上限。
首先人具有多样性，每个人都是不一样的，有自己的想法、判断和追求。这给对人的研究造成极大的困难，使得社会科学几乎不可能是一门精确的科学。有个著名的俏皮话说，想象一下如果每个电子都有自己的想法，可以不遵守物理定律，物理学将会是什么样的理论……
不过别担心。你的确很难预测”一个人“的行为，但是你可以在大体上判断”一群人“的行为。
这是为啥呢？因为个体的差异可以互相抵消。
- 比如你开个餐馆，具体到一个特定的人今天来不来你这吃饭，你很难判断，但是你每天的顾客人数其实都差不多。有的人本来想来因为临时有事来不了，有的人本来没想来因为路过看到就来了，这种种的出入互相抵消了。
- 再比如在投票选举中，有的人观点左得离谱，有的人观点右得离谱，但是因为互相抵消，最后这个人群整体的观点就还是比较靠谱的。当选者的政策不会太离谱。
但互相抵消的前提是每个人都独立思考，犯错的方向得四面八方都有才行。而如果人和人之间有强烈的互相影响、互相模仿，那么整体就会表现出一个强烈的倾向性。比如一家银行，本来每天被取走的钱都差不多，有一天突然传来一个谣言说银行要破产了，人们都来挤兑，那你就不能再使用平常的模型了。
- 是各自独立还是互相模仿，这是我们研究人群的一个重要视角。
- 另一个视角是，人们是在例行公事地按照习惯做事，还是正在根据当前局势的变化调整自己的行为模式。如果局面很稳定，其实大家都是按照习惯做事。只有在一些很特殊的情况下，人才会表现出一些不寻常的特点。
所以针对不同的局面，你要选择不同的模型。
0x2：三种关于人的模型
大致来说，关于人的模型一共有三种。
第一种是“理性人模型”。
经济学和博弈论所谓的理性，就是你明确知道自己想要什么（行为可预期，包含的信息熵很小），并且为之采取行动。请注意理性不等于自私。你说你不为名不为利就想为人民服务，那也行，只要你的所作所为能用你的这个目的解释就行。
学者们假设，如果你是理性的，你就会想去优化某一个量。
- 比如你想挣钱，你就会把自己的金钱收入最大化
- 你想助人为乐，你可能会让自己帮助的人数最大化。
经济学一般把你想要优化的这个量叫做“效用函数（utility function）”，博弈论里叫“报偿（payoff）”。不管叫什么，有了这个函数，我们就容易对理性人建模了。
比如咱们考虑这么一个有关收入支配的问题。一般人都会把一部分花费用于房子，比如还房贷或者交房租，一部分用于日常消费。那这两部分的比例是怎样的呢？
有一个经济学理论做了这么一个假设，说人在决定花费的时候，会把下面这个效用函数
给最大化，其中 C 表示日常花费，H 表示在房子上的花费。
你可能会觉得这个假设非常不合理：生活中有谁是照着这个怪异的函数花钱的啊？没关系，这只是一个模型而已，经济学家眼中的理性人什么事儿都做得出来。那假设人们真的是冲着让这个函数最大化去花钱的，他们会怎么花钱呢？
答案是 H，也就是房子花费，应该占你全部收入的1/3，其他花费占2/3。而这和对真实人群的观测结果差不多，所以这是一个很不错的模型。
你看这就是模型的力量。有了理性人假设和效用函数，你就能从中推导出来人的行为。
而且你还可以推导出各种问题的答案。比如说如果房价下降，人们会不会用更多的钱去买别的东西呢？这个模型说不会的，因为人总是把1/3的钱花费在房子上，如果房价下降，人们会选择买更大的房子，而不是用于别的消费。
这就是为什么经济学家那么喜欢理性人模型：一切都是可推导的！当然这样的假设是有危险的。有些学者说人是“非理性”的，有各种认知偏误。其实很多这样的指控，包括著名的丹·艾瑞里的《怪诞行为学》书里说的各种实验，都没有通过严格的重复检验。所谓非理性的偏误对经济行为真正有影响的大概只有两个。
- 一个是“损失厌恶”，也就是人对失去的厌恶超过对得到的喜悦。
- 一个大约可以叫做“棉花糖谬误”，也就是人会过高地估计当前的价值，而不愿意等一段时间拿更高的价值。
事实是人在大多数情况下是非常理性的。你可能不会计算效用函数，但是你有各种生活经验、你可以向人学习，你的经济决策通常比较接近于最优决策。就算被人骗一两次，你吃一堑长一智也不会被骗第三次。特别像买房这样的大事，你肯定会货比三家，做非常精确的计算，总不至于糊里糊涂地多花30%的钱。
所以理性人模型有众多的优点，还是很实用的。理性人模型决定了人在发挥智识上限的情况下会怎么做。
第二种模型叫“固定规则模型”，代表了人的行为下限。
它假设人没有那么多想法，只是根据习惯，按照一个固定的行为模式去行动。比如你的模型可以直接假设人会把三分之一的花费用于房子……其实在某些情况下，这跟理性人假设的推论是一样的。
还有一种叫“适应性规则模型”。
这种模型认为人会从几种行为模式中选择。具体怎么做，他可以跟别人学习，或者根据当前局面自己决定。
那什么问题该用哪种模型呢？取决于在这个问题中人到底有多聪明。
0x3：局面决定人
比如你对哈尔滨市的城市交通进行建模，你的模型演化出来一个稳定解，你说哈尔滨市民天天都是这么上下班。在这个解里，有一个叫老王的人，每天上下班都绕了远路。明明有一条半小时就到的路线，老王却选了一条一个半小时的路线。那么你想想，你这个模型是不是有问题呢？
老王作为一个正常人，不会放着更好的路线而不用的。你可以认为老王有非理性的倾向，但是要想做一个有用的模型，你不应该看不起老王的智商。
这叫做你的模型“逻辑不自洽”。
这里面有个大道理。如果模型有一个比较稳定的解，那么其中就不应该有傻子。
我们多次讲过一个概念叫“有效市场假设”：在一个有效市场中，每个人都做到了他行为的上限，一切获利空间都会被占据。博弈论中也有个概念叫“均衡态”：在均衡态中，谁也不可能通过单方面改变自己的行为来改变博弈的结果，经济学家称之为帕累托最优。
用在模型上，就是说
- 如果你的模型演化出来的结果是一个比较稳定的状态，哪怕是出现一个循环的状态也行，只要是可预期的就行，那么其中的人就会适应这个状态，就会通过个人经验或者互相学习，找到最优解。这个模型的参与者，就应该是聪明人。所以你就应该用理性人或者适应性规则建模。
- 反过来说，如果你要研究的这个局面是非常混乱的，根本没有什么规律可循，那这里面的人就不用被假定是聪明人，用固定规则建模也许就是可行的。为啥呢？因为混乱的局面中没什么经验可以总结，也没什么可以互相学习的，人无法改善自己的行为。
简单来说，
- 在复杂没有规律的局面中，人们普遍不会很聪明，因为聪明也没用
- 而在平衡稳定的局面中，人们普遍不会很傻，因为人会学习。
当然这里所谓的“聪明”都是相对于局面而言，不是绝对的智商测试。智商好不好使，还得看是干什么用。
这个道理不仅仅适用于建模。如果你是一个政策制定者，你需要了解人群的这个特性。
比如你管理一家医院。你注意到医院急诊室太小了，应对不了每天来那么多患者，所以你打算把急诊室扩大一倍。你的测算是扩大一倍足够了。
但是如果你理解人，你就得考虑患者对你这个政策的反应。急诊室扩大之后，患者发现不拥挤了，他们会老老实实享受这个局面吗？不会的。
患者会适应这个局面。既然急诊变方便了，那些本来只有些小病，不需要看急诊的人，就也会来看急诊。你的急诊室将会再次拥挤。你的模型必须能够判断，方便不是均衡态，拥挤才是。
所以人再复杂，也要受到均衡态的控制……要不怎么陈道明说“往往都是事情改变人，人改变不了事情。”
三、三种分布模型
这章咱们讲三个特别常用的统计模型，分别是
- “正态分布”
- “对数正态分布”
- “幂律分布”
佩奇的模型课完全不介意使用数学，这三个概念听起来就有强烈的数学味道……而我保证，在我们整个的解读中，你都不需要拿起笔来做数学计算。但是你需要从这个过程中获得一点“数学感”。球迷自己不会踢，看别人踢球也会得到有一点“球感”，也能在一定程度上阅读比赛、甚至做出很好的预测判断，我说的数学感差不多也是这个意思。
这一章说的数学感能带给你一个非常实用的判断力：什么时候应该担心发生极端事件，什么时候不应该担心。我们讲“蝴蝶效应”的时候说过，就算你是个小心谨慎的人，你也不应该一天到晚对什么事情都提心吊胆。
有些天真的人认为极端事件随时都可能在任何领域发生，真正的学者不会这么看问题的，我们的确见过很多身高超过两米的人，但是可没见过身高 15 米的人。而在另一些领域中，的确就是存在特别极端的例子，比如世界上有些特别有钱的人。这二者的区别是啥呢？
区别是人的身高服从正态分布，而财富不是。
0x1：正态分布
咱们先回到上一章说的那个开餐馆的事儿。如果你的餐馆事业已经比较稳定了，你不会太担心顾客流量的波动。这种情况，就是正态分布。
假设你的餐馆平均每天有 100 个顾客，比较好的时候能到 115 人，比较差的时候也有 85 人，那么画出图来，就是下面这样的一条钟形曲线，
曲线的横坐标代表每天来的人数，纵坐标代表在比如说一个季度之中，来这么多人的时候有多少天。图中标记了正态分布的两个重要概念：平均值（μ），和标准差（σ）。对你这个餐馆来说，μ = 100，σ = 15，这意味着在 68%的日子里，你的顾客人数会在 85 和 115 之间 —— 这叫“一个标准差之内”。横轴上距离平均值越远的地方越是极端事件，而那些事件的纵坐标大小则代表它们发生的概率。
只要你知道餐馆人数符合正态分布，平均值和标准差就都可以用平时的流量数据统计出来。有了平均值和标准差你就可以大致估算各种事件发生的概率：95%的事情都发生在两个标准差之内，99.7% 的事情发生在三个标准差之内。有个极客说要找个美貌程度在两个标准差之外的女朋友，那就意味着她要比 97.5%的人都漂亮。
这些概念是一名现代大学生应该具备的常识，你在课堂上可能都学过。但是也许你有个疑问：
为什么餐馆人数满足正态分布？
并不是所有随机事件都满足正态分布。想要学会判断什么样的事件满足正态分布，你必须有一点数学感，你需要了解“中心极限定理”。中心极限定理说，如果一个事件满足下面这些条件，它的分布就是正态分布，
- 第一，它是由多个，至少 20 个，随机变量”相加“的结果
- 第二，这众多的随机变量是互相“独立”的
- 第三，每个随机变量的方差都只有有限大
- 第四，每个随机变量对结果都要有一定的贡献，否则如果只是其中几个起到决定性的作用，那也不能算“多”
简单地说，正态分布的关键要求有两个：“相加”和“独立”，凡是多个独立随机变量相加的事件，结果就会是正态分布。
你的餐馆顾客满足这些条件：每个顾客来不来吃饭都是他自己的决定，是独立的，而你计算的是今天总共来了多少人，是这些人的和。
直观地说，中心极限定理说的是每个人来不来可能波动很大，但是因为人多，整体上来多少人，波动就不会有那么大，所以满足正态分布。
生物学家认为人的身高是由至少 180 个基因共同决定的。有的决定你的小腿有多长，有的决定你的脖子有多长，而你的身高，是所有这些因素相加之和。作为一个很好的近似，决定身高的各个基因是比较互相独立的。所以身高满足正态分布。
你看这是不是有一种“冥冥之中自有定数”的感觉。虽然你不知道明天会有哪些顾客，但是你知道他们的总人数不会太离谱：三个标准差已经覆盖了 99.7%的可能性，来超过 145 或者低于 55 人的可能性只有千分之一。这意味着两三年都碰不到一次，所以你真的没有必要准备那么多桌椅。
正态分布能给人充分的掌控感。每个案例相差都不会很大，通常翻不了天。
好，现在回到正态分布的两个条件，“相加”和“独立”：如果局面不满足这两个条件，结果会是怎样的呢？那你就得做好准备迎接极端事件了。
0x2：对数正态分布
如果一个事件的结果不是由独立随机事件相加、而是由相乘决定的，它的分布将是“对数正态分布”。这个分布的形状就不是对称的钟形了，而是像下面这样，
它有一个比较长的尾巴。这意味着其中发生极端事件的可能性比正态分布高很多。
比如说涨工资吧。有个公司，本来员工之间工资相差不大。有一天老板宣布了一个涨工资计划，说以后每年业绩突出的员工，工资会增加 10%。你猜这个政策意味着什么？
意味着员工之间的工资差距将会变得越来越大。可能老王工资本来就比小李高，这次业绩又比小李好，那么老王涨 10%，小李没有，所以两人的差距将会变大。换一种情况，老王表现没有小李好，那么小李涨 10%，两人差距会缩小。但是，请注意，因为老王工资高，所以第一种情况导致的工资差距拉大，会超过第二种情况导致的工资差距缩小，所以总体看来，全体员工的收入差距必然拉大。
这就是因为你使用了相乘的方法。换个方案，如果规定业绩好的员工，不论之前的工资是多少，一律涨一万块钱，那么员工之间的工资差距就不会拉大。
你喜欢让员工的收入差距拉大还是缩小呢？不管你喜欢哪种局面，你需要这个数学感。否则是你自己设计的模型，含着泪也得接受它的结果。
请注意，对数正态分布仍然假设每个随机变量的作用是互相独立的，这意味着哪个员工今年能做出更好的业绩，跟他去年的工资没关系。而如果你认为员工工资代表了能力，那么工资越高的人就越有可能做出好业绩，那结果就不会是对数正态分布了，而是比这还要容易出极端事件的“幂律分布”。
0x3：幂律分布
幂律分布的“长尾”，比对数正态分布更长，
这意味着幂律分布中会有大量的极端事件，幂律分布是”不独立“的随机变量作用的结果。
科学家找到了很多个能带来幂律分布的模型，咱们这里说其中最常见的两个。
第一个模型是“马太效应”。
比如你去书店买书，那么多本书选哪本呢？你会优先关注那些上了排行榜的“畅销书”。这是人之常情，但是这对那些没上榜的书是不公平的，这等于说越畅销的书就会越容易被关注，而越容易被关注就让它进一步更畅销。这就成了一个富者愈富的局面。幂律分布使得图书市场中会出现少量特别畅销的书，而绝大多数书的销售成绩都很差。
而这一切都是因为你做决定的时候是在模仿别人。你看到别人都买这本书，所以你才关注它。你的买书行为不是独立的。
- 明星的粉丝数量
- 公司的大小
- 城市的大小
都是幂律分布。比如一个城市越大，其中人与人的互动就越多，就业机会和创新机会也会越多，就越能吸引到新人的加入。这就是为什么中国有那么多的超大城市。当然每个幂律分布中的那个幂律参数不见得是一样的。
如果一个局面中有很多极端事件，我们基本上可以猜测它满足某种某种幂律分布。
另一种幂律分布模型来自于复杂系统的“自组织”现象。
一个系统在变大、变复杂的过程中，它的各个部分互相依赖的程度将会增加。到了一个临界点，因为互相关联实在太紧密了，一部分出个小问题就会导致整个系统出大问题，那就是雪崩式的灾难。
核电站的安全性、地震、森林大火，这些事情中包含自组织，各个部分之间会有复杂的联动。而我们说过，所谓蝴蝶效应，罪过不在蝴蝶，恰恰就是因为系统中的复杂联动。这些系统可能平时什么事儿都没有，但是其中蕴含着大灾难的可能性。
可能一个地区每天都发生一万次以上的小地震，影响微不足道，但是你考虑到地震是幂律分布的事件，就必须对大地震做好防灾准备。
总而言之，
- 如果这个事件代表多个独立随机变量之和，它就满足正态分布，你不用担心会有什么极端的情况发生。
- 如果一个事件是独立随机变量的乘积，那就是对数正态分布，其中会有一些比较极端、但不是那么极端的事情发生。
- 而如果一个事件中的随机变量不是互相独立的，有互相模仿或者达成了紧密的关联，那你就必须做好应对极端情况的准备。
如果你是一个管理者，这个数学感会让你希望建立一个“原子化”的组织。其中的个体都独立决定，不要互相模仿、不要有什么民间组织和派系，实现正态分布。这意味着你要打压那些所谓一呼百应的“社会凝结核”，你要把坏消息的传播控制在最低限度。
而作为个体，也许幂律分布对你有某种诱惑……你有可能利用这种规律做一些很厉害的事情。
以网络安全为例，计算机入侵事件符合什么分布？答案应该是幂律分布。
我们假如一台计算器遭到网络黑客入侵这个事件，由如下几个事件组成，
- A、是否存在漏洞
- B、是否安装了防护软件
- C、黑客是否能否发现这个漏洞
- D、黑客是否有攻击意愿
- E、黑客是否实际发起了攻击
首先，我们排除正态分布，原因有两点，
- 第一，组成事件的随机变量数量不多。
- 第二，并不是每个随机变量的方差都只有有限大，其中”E（黑客是否实际发起攻击）“是一个极其不确定的因素，它受人的主观心里因素影响，属于不可预测的因素。
第二，我们依然排除对数正态分布，原因有一点，
- A、对数正态分布仍然假设每个随机变量的作用是互相独立的。但是对于网络攻击来说这个假设是不成立的，”C（黑客是否能否发现这个漏洞）和E（黑客是否实际发起了攻击）“往往是存在相互依赖关系的
最后，网络安全计算机入侵事件，满足一个近似的幂率分布。
四、大国崛起靠什么
这一章咱们说个特别大的话题，看看模型思维的威力：一个国家的经济，是如何增长的。
古人的治国思路，要么靠一个什么经典学说，一种理念，或者什么以德治国，本质上都是用直觉治国。直觉能告诉你什么因素好、什么因素坏。直觉告诉你增加投资能让经济增长，这个没错，这个效应存在。但是直觉只能告诉你效应的方向，而模型能告诉你效应曲线的形状。
你只知道一个东西有没有效还不行，你得知道这个东西有多么有效才行。模型不一定非得特别精确，只要它能告诉你效应曲线的形状，就已经能大大增强你的判断力，就比直觉强得多。
0x1：两种非线性
我们前面讲期权思维说过两种非线性曲线。
- 一种是“微笑”曲线，是上凹下凸的图形，英文叫 convex，代表边际效应递增，
一种是“撇嘴”曲线，上凸下凹，叫 concave，代表边际效应递减，
现在我们想象这两种曲线描写的是一个国家的经济产出。图中的经济都在增长，而且是非线性的增长：
- 一个速度越来越快
- 一个是越来越慢。
我们平时说的所谓指数增长，都是边际效应递增的曲线。咱们中国经济曾经以每年超过 10% 的速度增长，现在下降到了 6.5%，仍然很厉害。如果中国经济能保持哪怕每年6%的增长速度，那也是每12年就能翻一番。上凹下凸的曲线是非常厉害的，我们喜欢这样的增长。
而我要说的是，我们希望国家经济一直都是这么一个上凹下凸的微笑形状。你希望保持一个不太低的增长率。如果经济虽然也在增长，但是增速正在变得越来越慢，你就应该采取一些行动了。因为哪怕都是增长，人们在微笑曲线和撇嘴曲线中的经济行为是不一样的。
比如你要在某个三线城市开家电影院，面临两个选择。
- 一个选择是保守一点，开一家符合市民当前消费能力的中小型电影院
- 一个是比消费者领先一步，开一家豪华的大型电影院。第二个选项是有风险的，现在这个城市的消费能力还不足以把这个大电影院立即填满。但如果你预期随着人们收入的增加，能看得起电影的人会越来越多，那么你的投资也许就是值得的。
我们设想，如果开大电影院，你有50%的可能性一年就倒闭，也有50%的可能性电影院能坚持下来，几年后盈利，那你会怎么选呢？答案取决于城市消费水平的增长是微笑曲线还是撇嘴曲线。
你可以用下面这张图来参悟一点数学，
简单来说，
- 在微笑曲线中，函数的平均值（图中 D 点），要比平均值的函数（图中 C 点）高。这意味着你拥抱不确定性，选择开大电影院，对一半一半的运气认命，会得到一个很好的数学期望。
- 反过来说，如果你预期未来经济增速会越来越慢是个撇嘴曲线，这种冒险就是不值得的，你就应该开一个规模比较小、装修没那么豪华的电影院。
如果人们对国家经济增长的预期是越来越快，投资者就会充满信心，敢于冒险上一些比较刺激的项目。如果没有这样的预期，人们就会变保守，搞不好对本来想投的项目也不投了。
而数学告诉我们，这些都是理性的选择。我们不但要求经济增长，而且希望增长是加速运动，保证一个不太低的增长率，是个微笑曲线。
可是怎样才能做到这一点呢？我们来看两个经济学模型。
0x2：投资拉动的增长
咱们先看一个最简单的模型。经济产出的两个最重要要素，
- 一个是劳动力
- 一个是固定资本
而遗憾的是，这两个要素的效应都是边际效应递减的，是撇嘴曲线。
比如你开了一家工厂，有100个工人、一间厂房和一定数量的机器。
- 现在如果工人人数不变，你把机器数量扩大一倍，你的产量会增加一倍吗？并不会。工人操作机器的能力是有限的，你给一个程序员发500台电脑也不能提升相应的代码产出量。
- 同样道理，在机器数量不变的情况下，把工人的数量增加一倍，产出也不会翻倍。你必须把工人和机器同时增加一倍，你的产出才可能增加一倍。
根据这个思考，有个最简单的、也是常用的经济学模型叫“柯布-道格拉斯模型（Cobb–Douglas production function）”说，产量（O）跟劳动力（L）和固定资产投资（K）的关系是下面这样的，
根据这个模型，增加劳动力也好、增加投资也好，对经济增长的拉动都是有限的，越往后越慢，越往后越贵。
为啥中国经济曾经有过那么快速的增长？因为当时劳动力、特别是投资本身在快速增长。我们这个模型说的仅仅是经济”相对于投资“是个撇嘴曲线，但是如果投资本身相对于时间在指数增长，经济也会跟着相对于时间高速增长。
但是这样的增长不会一直持续下去。投资不是从天上掉下来的，如果没有外来或者政府驱动的刺激性投资，投资最终只能由产出决定，会越来越贵。特别过了早期的阶段之后，机器设备要折旧，而折旧和固定资产是正比关系。总有一天，你的投资正好等于折旧，经济就不再增长了。
下面这张图是考虑了折旧之后的经济产出曲线，
这也就是说，如果只靠劳动力和投资，一切经济增长都会有到头之日。
那如何才能有可持续的经济增长呢？这可是一个得了诺贝尔经济学奖的问题。
0x3：索洛模型
早在上世纪五十年代，美国经济学家罗伯特·索洛就提出一个经济增长模型，我们称之为“索洛模型（Solow Growth Model）”。这个理论帮索洛拿到了1987年的诺贝尔经济学奖。值得一提的是2018年的诺贝尔经济学奖也给了一个增长模型，《香帅的北大金融学课》对此有所介绍。在我看来那个新模型可以说是对索洛模型基础之上的一个发挥，索洛模型已经把该告诉我们的大道理都告诉我们了。
抛开技术细节不讲，简单来说，索洛模型认为，长期看来，经济的产出
其中
- A代表技术进步
- L代表劳动力
- s代表储蓄率
- d代表折旧率
首先索洛考虑劳动力有两个作用：
- 他们不仅仅是去工厂上班工作，他们还要拿工资
- 拿了工资会存钱，存的这个钱可以用来投资
经济产出跟劳动力工作是平方根关系，跟劳动力的投资也是平方根关系，所以跟劳动力本身就成了正比关系！
这可是一个好消息。这意味着如果你这个国家藏富于民，让老百姓不但能工作还有钱投资，劳动力这一项就能帮你突破撇嘴曲线的限制。
更关键的是，索洛中有个“技术进步乘数”，A。经济产出和和技术进步的平方成正比。这是绝对的微笑曲线！
什么是技术进步呢？简单地说就是使用同样的劳动力人数和同样大小的固定资产投资，你的产出是别人的一般水平的多少倍。因为你的技术更先进，你的产出就比别人的产出更值钱，A 代表了你的技术附加值。
为什么经济产出和 A² 成正比？因为 A 有两个效应。
- 一个是 A 能直接增加产出
- 一个是因为 A 增加了产出，会导致相对于同样的折旧，投资也会增加
如果你能把技术附加值变成两倍，你的总产出就会变成四倍。
使用索洛模型，我们可以分析一下中国经济是如何增长的。
- 在经济非常落后的阶段，只要有一点固定资产投资，马上就能拉动经济增长。再考虑到中国有很多的劳动力，中国人还很喜欢储蓄，中国的 L×s 这一项很大。劳动力和固定资产投资给中国带来了一个长时间的高速增长时期。
- 但是这个增长是有限的。经济相对于投资是个撇嘴曲线，会越往后越慢。中国的劳动力人数不会一直增加。想要克服经济增长放缓的宿命，你就必须得在技术附加值，A，这一项上做文章才行。
我们中国人一直都热衷于先进技术，但是请注意，你的技术先进不先进不是跟昨天比，必须跟市场比。经济学家眼中所谓的先进技术，是使用同样的人力和物力，你做出来的东西能不能比别人卖更多的钱。
用低价去争取订单，本质上相当于还是用更多的劳动力和投资换增长，那样的技术不叫先进技术。
总结来说，我们可以从经济模型中得出这么几个结论，
- 第一，让人乐观的经济必须保持一个最起码的增长率，是微笑曲线。
- 第二，单纯靠投资来拉动经济增长，是边际效应递减的过程，不可持续。
- 第三，劳动力对经济增长的贡献是线性的，这是因为人同时有两个作用：既是劳动力，又是投资者，所以要真正发挥人多力量大的优势，必须让人民手里有钱才行。
- 第四，长远看来，只有通过技术创新提高产品的附加值，才是真正的增长之本。
所以必须实现产业升级，中国才有出路。如果没有创新，你不但不能维持高速增长，而且想维持以前那样的乐观情绪都不行。
不用数学的话，我们在直觉上也知道投资、劳动力和创新都是能带来经济增长的好东西；可是只有用了数学，你才知道它们好的“程度”是有区别的。模型揭示了经济增长的秘密：长期看来，只有创新能带来真正的增长。
这个规律对国家、对公司都适用。
过去几十年都高速增长就以为未来也会高速增长，那叫“简单外推谬误”。如果不用数学模型，你可能还以为创新是个锦上添花的事儿。殊不知创新是生死攸关的事。
五、传播公式和”引爆点“
这一章我们要讲几个信息传播的模型。
不管你感兴趣的是新闻传播、产品的销售过程还是一首歌曲是怎么流行的，在科学家眼中，这些事儿都可以和传染病的传播进行类比。传播学在一定程度上就是传染病学。咱们先借鉴几个传染病学的概念。
- 第一个概念叫“相关人群”，代表所有可能会感染这个病毒的人的总数。如果你要卖一本书，相关人群就是所有可能买你这本书的人。请注意我们说的是有意义的可能性，也就是说你真把这本书摆在他面前，他一定会买，你要解决的问题仅仅是怎么让他知道这本书的存在。所以相关人群不等于全中国的人口，相关人群是你的市场上限。我们用字母 N 代表相关人群的总数。
- 第二个概念叫“已感染人群”，意思是在此时此刻，已经感染了病毒的人数，我们用 It 表示，t 代表时间。
- 第三个概念叫“未感染人群”，是此时此刻相关人群中剩下的、还没有被病毒感染的人群，用 St 表示。
现在你只要记住这三个概念就行，其中
信息的传播，基本上有两种方式。
- 一种叫广播
- 一种叫扩散
下面咱们分别来看。
0x1：广播
广播式传播，是我们都从公共渠道获得信息。它的特点是每天的感染概率是一样的。
比如华为发布了“鸿蒙”操作系统，这件事是你从电视新闻或者网上看到的。我们假设你在发布当天有 30%的可能性被感染，也就是收到消息。那如果你第一天没看新闻，没关系，第二天媒体上仍然在报道和讨论，你还是有 30%的可能性收到……然后第三天还可能收到……你在几天之内，终将收到消息。
那你说为啥每天的概率都一样呢？这当然是为了模型的简化。不过这已经是个很不错的近似。
广播的传播公式是
其中这个 Pb 就是感染概率。通过简单的数学计算，广播这种模式的传播曲线是下面这样的，
其中横坐标是时间，纵坐标是被感染的总人数。
新闻发布第一天收到消息的人数肯定是最多的，所以我们看到广播曲线初期的增长速度非常快，越来越慢，最后达到 N，也就是所有人都被感染了。
我们日常通过微信公众号发文章宣传一个活动，很大程度上就是广播式的。
新活动上线会有好几天饱和式的宣传，用户打开得到首页就能看到。文章打开数销量也是第一天最高，此后逐渐递减。
我们假设微信公众号上发布一个活动文章，第一天阅读总数是1 万人，第二天又有 8 千人阅读，总人数达到了18000人。那你能不能仅用这两天的数据，估算一下这个活动总共有多少人阅读并参与了呢？
套用前面的公式，
- I1 = PbN = 1万
- I2 = I1 + Pb (N - I1) = 1.8万
简单解方程就知道，N = 5万，Pb = 0.2，所以这个文章大约会被阅读 5 万次。这就是一个典型的模型训练过程，
- 建立一个基本假设模型
- 然后喂入一定的数据后，最终可以得到模型的参数
- 基于得到了模型，可以预测未来的结果
这个估算不可能是精确的，比如 Pb 值会有波动变化，读者的口碑会有影响，但是它不会相差太远。两天的数据就已经很能说明问题了。
新闻的传播、知名品牌发布新产品之后的销售情况，基本都是广播式的。
0x2：扩散
第二种传播方式叫“扩散”。扩散是人传人，就好像病毒一样，我们是被自己接触到的人给传染。扩散的特点是已经被感染的人越多，传染的速度就越快。
我们假定人群是随机地混合在一起，那么扩散传播的公式是
其中的 Pd 代表扩散传播的概率，也是一个常数，但是我们看到，这时候新被感染的人数跟已经被感染的人数在人群中所占的比例有关。扩散的传播曲线是我们常说的“S曲线”，
上面这张图说的是 Google+ 这个服务推出之后，用户的增长情况。Google 公司并没有搞大张旗鼓的宣传，主要靠人传人。一开始好几天使用的人数都很少，所以传播速度也慢，然后终于在第五天迎来拐点。等到相关人群都用上了，扩散就算结束。整个过程是开始慢、中间快、后来又变慢。
艾滋病的传播、和手机作为一个新技术被人们采纳的曲线，都满足S曲线。一开始人们并没有使用手机的习惯，新闻媒体的说服力并不大。但是等到你发现身边的人开始用手机之后，你才意识到手机的确有用，你才会去买手机。对改变生活习惯来说，你的朋友比媒体更有说服力。
大部分传播都同时具有广播和扩散的性质，这两个模型能告诉我们一些道理。我们看到广播式传播和扩散式传播，都是由 P 值和 N 这两个参数所决定的。这里面有个有意思的性质：不管 P 值是多少，传播最终都会达到整个 N 值。
这个性质对市场营销非常有启发。
- 对产品来说，N 值主要由这个产品本身的质量和传播的终极范围决定：东西摆在一个人面前，他买还是不买。
- 而在市场营销方面，
- 对广播来说，P 值代表媒体播出的频率和强度，N 值取决于媒体的覆盖面积
- 对扩散来说，P 值代表人们是否愿意分享这个东西，以及人群之间的关系紧密程度，N 值取决于社交网络中易感人群的总数。
为了增加 P 值，你可能会花很多钱在媒体上搞狂轰滥炸，你可能会给那些能拉来新用户的人提供奖励……
可是营销到底有多大用处呢？如果传播终将到达整个相关人群，早期强力营销的作用仅仅是把这个进程给加快了而已！少花点钱做广告，你的产品终究也能卖那么多……吗？并不是。我们前面的分析少考虑了一个关键因素。
0x3：SIR模型
这个关键因素是“恢复”。信息会被人忘记，传染病会痊愈，流行会退潮。如果你感染病毒一段时间之后痊愈了，你就不再是传染源了。
考虑到这一点，我们引入一个新的概率，叫 Pr, 代表恢复率。这时候新的扩散公式变成
这个公式叫SIR模型。因为恢复率的存在，有些信息就不会被传播到整个相关人群。
比如一首歌刚出来的时候你觉得挺好听，就发个朋友圈分享给你的朋友。你的朋友们一听也觉得好听，就继续传播，这是一个扩散的模式……但你不会每天都为这首歌发朋友圈。可能几天之后你就把这首歌忘了，你不再是个分享者，你痊愈了。
一首被人快速遗忘的歌曲，哪怕摆在你面前真的挺好听，也不会传播很远。
那什么样的病毒能被传播开来呢？疾病防控中心的研究者关注一个参数，叫做 R0， 称为“基础繁殖数（basic reproduction number）”，是扩散概率和恢复概率之间的比值：
- R0＞1，这个东西就可以传播到整个相关人群
- R0＜1，它就不能发挥全部的潜能，传播上一段时间后就会自行消亡
R0，才是真正的引爆点。以前格拉德威尔在《引爆流行》这本书中把前面Google+的传播图形中的那个拐点称为引爆点，那是不对的。只要 R0 够高，拐点是必然的过程，根本没有悬念。
R0，是营销真正的悬念。
比如你在微博发了一个段子，希望能得到广泛传播。
- 如果人们对这个段子的好感度稍微高那么一点，扩散概率就会高一点，也许正好超过遗忘概率，你的段子就真能到达整个微博中对它感兴趣的人。
- 而如果你写得稍微差了那么一点，R0＜1，它就只能小范围传播。
如果是扩散再结合广播式的传播，这就要求市场营销的力度稍微大一点，战胜人们的遗忘概率。
有人计算，流行歌手贾斯汀·比伯的 R0 = 24，比麻疹病毒都厉害。
总结来说，信息传播和市场营销的目标都是把信息传播到整个相关人群，并且希望相关人群越大越好。
- 对成熟品牌发布的新产品和新闻广播这种短期的传播来说，因为相关人群就只有这么大，营销手段的主要作用是加速传播的进程。
- 而对新兴的技术和病毒来说，因为主要依靠人传人，而且人还有遗忘的概率，营销能力就变得至关重要，决定了是否达到引爆点。
而不论是哪一种情况，营销水平都跟产品本身非常有关系。只有产品足够好，人们的分享和感染概率才会大。原因也是因为R0，决定R0的正向因素和反向因素，都和你的产品本身和信息源的价值有关。
那有些公司搞一些假数据，人为制造一个早期销量很高的样子，请问这种营销手段有用吗？从这些数学模型看来，我认为没用。成熟的用户不会看见数字高就真的以为这里人多、更不会就买，真正起作用的是隐藏在背后的 N 值和 P 值，而假数据改变不了这两个数字。人为地把 I1 做大一点，那些虚假用户不会真的帮你扩散。
六、股市的走法（基本上）是随机的
这一章咱们说说数学家眼中的股市。
经济学中有一个“有效市场”概念，如果股市是个有效市场，它就不存在什么靠谱的赚钱机会，股价的所有波动都可以说是没什么意义的。看什么“K线”、什么“突破位”、“阻力位”之类的概念就都没用……
那股市是个有效市场吗？我们要用数学方法来证明这一点。
0x1：Facebook 的走势
下面是 Facebook 的股价从2012年6月到2013年6月的走势图，
我们知道 Facebook 是2012年5月18号上市的，发行价是42美元，而到6月初就跌到了28美元，一年之后，价格是24美元。在这一年里，Facebook的股价经历了各种波动，有大波动也有小波动……那么请问，你能不能以股票评论员的视角，说说这一年中的Facebook都发生了什么？
我相信一个专业股评人可以从这个走势图中看出很多东西来。他结合当年的四份财报，再参考当时的新闻报道，同时跟市场大盘作对比，对每一次波动都能给出一个解释。他会说这里是阻力位，这里是市场信心不足，这里是触底反弹，这里是上升动能耗尽……
但是我想给股评人再看看下面这张图，其中把同一时期的Facebook，和一支虚拟的股票做了对比，
如果不说，你完全看不出来图中哪个是真哪个是假，而且请注意，这个假股票的走势图可不是人为故意画出来的，它是完全随机生成的曲线。
简单地说，我们弄一个正态分布的随机数发生器，它会每次提供一个-1到+1之间的数，正负概率各占 50%。如果收到负数，我们就让第二天的股价往下走一下，如果是正的就往上走一下，这是真正的“随机行走”。请注意随机不等于均匀：尽管向上向下的概率严格相等，随机行走也不会一直在原处活动，它也会有连续几天向上或者向下的情况，会走出很大的波动。
我们看到Facebook股价的真实曲线好像跟随机行走没啥根本性的区别。但它们可不只是像。我们有三个证据证明，Facebook这一年的股价波动，几乎就是随机的。
- 第一，随机行走中每天往上和往下的概率是一样的。Facebook在这一年的249个交易日中，有127天是往下走，正好占51%。
- 第二，随机行走中今天是往上还是往下，跟昨天的走法应该没有关系。Facebook连续两天上涨或者两天下跌的概率是54%，非常接近于50%这个理论值。
- 第三，在一年的时间里，如果是随机行走的话，我们预期最可能的最多连续上涨天数是8天。Facebook的最多连续上涨天数是10天，也是非常接近。
我们想象一位股评人，看着一张随机行走生成的股价走势图，也会做出各种预测判断，而殊不知第二天是涨是跌完全是随机的。
那其他股票也是如此吗？
0x2：股市是随机的吗？
一般的股票在比较长的一段时间里，都会有一个上涨或者下降的总趋势。如果经济形势和股票的基本面都很好，它在长期一定会上涨，这不是随机的。但是股市中的日常行为，用所谓的技术分析去搞微观操作，那基本上没有意义。
这体现在，如果我们把这长期的总涨幅拉成一条直线，然后把这条直线作为“大势”，从股价波动曲线中减掉，那么剩下的那些涨落，基本上就是随机行走。
比如我们使用刚才说的第二个判据。美国在1950年代到1980年代这段时间，股市连续两天的走法的确有一点点正相关，比随机行走的情况好一点。可是1980年代以后，连续两天走法都涨或者都跌的可能性就正好是50%了，交易员们从那时候起就已经非常、非常理性了，他们把股市变得非常随机。
所以现在的股市是个相当有效的市场。当然这里面有个悖论。
- 如果股市真的是绝对有效，股价走向完全随机，那人们就不用分析股市规律了……可是这样的话股市就会变得无效
- 而如果股市无效，人们就会又愿意来分析它的规律，股市又会变得有效。所以任何一个股市都不可能100%有效，还会有一定的规律存在。
我打个比方，这就好比说你在森林里打猎。如果这个森林中有很多特别好的猎手，那只要猎物一出现就会被人抓住，所以猎物就会越来越少，也会越来越小，越来越不好抓。但你永远都不能说森林里没有猎物，因为如果真的没有猎物，所有的猎手就都走了，走了之后，森林里又会有猎物。
所以现实是森林里总会有些小小的猎物，股市中总会有些小小的规律可以让人获利。
比如在1990年代，有人发现一个效应叫“一月上涨效应”。每年圣诞节股市封盘之前，很多交易员为了能安安心心过个年，会把手里持有的股票给卖了。所以12月底的时候，股价会稍微低一点。过完新年交易员们回来上班，又会再买股票，这就导致一月初的股价会相对于十二月底有一个上涨。
这个现象在1990年代确实存在，但是今天已经不存在了。为什么？因为规律一旦让人发现，就会被逆向操作。现在我知道一月份股价会上涨，那我就应该在十二月底买一些股票，等到一月卖出！等到人们利用这个规律赚钱的时候，这个规律就消失了。
我们前面说的随机行走是用一个正态分布的随机数产生器决定怎么走，但是你可能听说过，塔勒布认为股价并不是正态分布的，股市中存在泡沫。那我们是否可以利用人们的非理性心态赚钱呢？其实也不能。
我们可以用一个长尾的分布做随机行走，去模拟一个有泡沫的股市。而能这么做，就这说明有泡沫的股市也是随机的，只是换了一种随机的方式而已！你明知有泡沫，可你依然挣不到钱。
举个例子。1997年，有一家很成功的避险基金叫“长期资本管理公司（Long-Term Capital Management，LTCM）”，发现俄罗斯的债券定价和美国的债券之间有个差距，认为可以利用这个差距挣钱。他们下了很大的赌注，上了杠杆，想要赚一票大的……结果万万没想到，俄罗斯债券宣告破产，LTCM公司倒闭。后来他们期待的那个趋势真的来了，但是他们没赶上。
这个道理是就算你预见了一个规律，可是因为你无法精确判断这个规律什么时候发生，你还是赚不到钱。你觉得那是个泡沫，你相信它”终将“破灭，可是你不知道泡沫”什么时候“破灭。
所以如果你不是森林里最精明的猎人、能发现别人发现不了的规律，做长期投资是唯一理性的选择。在趋势的背景之上，一切波动都是几乎是随机的。而事实上，如果股市非常有效，你就算长期投资也赚不到大钱……
比如在1967年到2017年这50年间，美国的 GDP 扩大了4倍，同时美国股市的平均股价，考虑到通货膨胀因素……也涨了4倍。对美国这种特别有效的市场来说，股市基本反映了国家的经济增长状况，它本质上并不是一个让人实现梦想的地方。
那到底有没有特别厉害的猎手、能捕捉到罕见的机会呢？难道巴菲特的成功也纯属运气吗？
0x3：巴菲特真有水平吗？
我们知道巴菲特的伯克希尔·哈撒韦公司表现的确很好，从1965年到2014年这50年间，巴菲特有42年打败了市场大盘。如果你当初花了1块钱买了伯克希尔的股票，现在值1万块钱。而与此同时标准普尔指数只涨了 23 倍。
像这样的业绩，有没有可能纯粹是因为运气好呢？数学可以帮你判断。
我们设想，如果巴菲特是每年在标准普尔的基础上做随机行走，他有50%的可能性打败市场，50年下来，他平均应该打败市场25次，而这个统计的标准差是3.5次。
可是巴菲特赢了42次，这个成绩，是在四个标准差之外。如果纯粹是运气，这件事发生的可能性是一百万分之一。当然有些彩票中大奖的概率低于一百万分之一，也有人中奖。所以你愿意相信巴菲特是真有水平呢，还是买彩票中了大奖呢？
我愿意相信巴菲特是真有水平。但是从这件事中我们也可以看到，想要判断一件事儿是真实的因果驱动的还是随机事件，那是非常困难的。而且别忘了巴菲特并不是操盘手，他喜欢做长期投资。
- 到底是信号，还是噪声？
- 到底是趋势，还是波动？
我们的大脑非常善于在没有规律的地方找出规律来，而这也是一种迷信。数学模型可以让你清醒。模型思维有一个灭high的效果。
我希望你下一次发现什么重大赚钱机会的时候，能先想一想这个机会所在的市场是不是有效市场，然后再想一想 Facebook 那一年的走势。
操盘手认为自己的每一个动作都有道理，也许真的有道理。但是因为大家都有道理，涌现出来的结果跟随机实在太像了，能看见的相关性都实在太弱了，以至于根本没有什么大机会，好成绩很大程度上都是好运气。有没有道理不重要，有没有机会才是关键。
七、马尔可夫宿命论
我先给你讲两个故事，你看看其中有没有什么规律。
- 第一个故事叫“捐款”。
我们知道美国很多地区的公立学校系统有衰败的趋势，生源、政府投入和师资力量都不太行，学生的考试成绩很差。有些热衷于公益事业的富豪看到这个情况，就想采取行动。
2010年，Facebook的创始人扎克伯格，给新泽西州纽瓦克市的公立学校系统捐款一亿美元。这是一笔巨款，再加上别人匹配的捐款，相当于给这个地方每个学生六千美元。这笔钱可以用来改善教学条件、给教师提高待遇，还可以给学生发奖学金！那这笔钱能起到怎样的作用呢？
结果是过段时间再考察学生的成绩，没有任何提高。扎克伯格的钱，白花了。
- 第二个故事叫“情绪”。
你有一个朋友因为失恋而情绪失控，说自己抑郁了。这已经不是第一次，但是你非常关心他，就专程飞到他身边，陪他度过了几天愉快的时光。你明显地感觉到这几天他确实很开心，他还表态说以后要保持阳光的心态，积极生活。你放心地回去了。
可是过了没多久，你朋友说因为感情受伤太深，实在不能安心上班，辞职了。
两件事的共同点是，想要一次性地采取一个行动去改变某件事，结果徒劳无功。不管你付出了多少努力，事情总会回到老样子，就好像冥冥之中有个无法摆脱的宿命一样。
数学模型能告诉你其中的原理。
0x1：宿命
这个模型叫“马尔可夫（Markov）过程”，以俄国数学家安德烈·马尔可夫命名。
比如有一位老师，发现课堂上总有学生无法集中注意力，会溜号。所谓马尔可夫过程，就是假设学生在“认真”和“溜号”这两个状态之间的切换概率，是”固定“的，
我们设定，今天认真听讲的学生，明天依旧认真的概率是90%，还有10%的可能性会溜号。而今天溜号的学生，明天继续溜号的可能性是70%，剩下30%的可能性会变得认真。
咱们看看这个模型怎么演化。假设总共有100 个学生，
- 第一天认真和溜号的各占一半。
- 根据概率设定，第二天，50个认真的学生中会有5人变成溜号；而溜号的学生中，会有15人变成认真，所以第二天是有 50-5+15 = 60个人认真，剩下40个人溜号。
- 继续演算，第三天应该有66个认真的，34个溜号的……
- 以此类推，最后有一天，你会发现有75个认真，25个溜号的。
而到了这一步，模型就进入了一个稳定的状态，数字就不变了。因为下一天会有7.5个学生从认真变成溜号，同时恰好有7.5个学生从溜号变成认真！
而老师对这个稳定态很不满意，为什么只有75个认真的呢？他安排了一场无比精彩的公开课，还请了别的老师来帮他监督学生。这一天，100个学生都是认真的。
但这样的干预对马尔可夫过程是无效的。第二天认真的学生就变成了90个，第三天就变成了84个，……直到某一天，还是75个认真和25个溜号。
你看这个情形是不是很像咱们前面说的那位失恋的朋友。他的情绪有“愉快”和“失控”两种状态。他愉快的时候有 10% 的可能性变成失控，他失控的时候有 30% 的可能性变成愉快，那么不管你的干预能他连续愉快多少天，只要你不再干预了，他终将回归到75%的比例愉快、25%的比例失控的日常状态。
马尔可夫过程有一个固定的宿命。这不是巧合，这是数学定理。
0x2：定理
咱们先严格地说说什么叫马尔可夫过程。马尔可夫过程要求满足四个条件，
- 第一，系统中有有限多个状态。比如“认真”和“溜号”，就是两个状态。
- 第二，状态之间切换的概率是固定的。比如从认真到溜号的概率永远都是 10%，保持不变。
- 第三，系统要具有遍历性，也就是从任何一个状态出发，都能找到一条路线，切换到任何一个其他的状态。
- 第四，其中没有循环的情况，不能说几个状态形成闭环，把其他状态排斥在外。
而数学定理说，只要是马尔可夫过程，不管你的初始值如何，也不管你在这个过程中有什么一次性的干预，它终究会演化到一个统计的”平衡态“：其中每个状态所占的比例是不变的。
就好像终究会有 75% 的学生认真，25% 的学生溜号。
马尔可夫过程，都有一个宿命般的结局。
那你说生活中有哪些事儿是马尔可夫过程呢？很多。四个条件中只有第二个条件是关键，也就是状态之间切换的概率是固定的。很多事情就是这样的。
- 不发达地区的很多人会因为疾病而不得不去借债，还不上债务就变成了贫困户。现在政府要扶贫，说我干脆一次性地给穷人发一笔钱，让他们把债都还了，以后好好过日子，这行不行呢？马尔可夫模型说不行。你并没有改变他下一次得病或者欠债的概率。你改变的现状仅仅是一个初始条件，只要概率不变，他的宿命终究不变。
- 再比如说美国的穷人经常失业，而在很大程度上失业是自己的原因。他可能因为不按时上班被老板开除了，也可能因为跟老板有点小矛盾一怒之下辞职了。那如果你改变不了他对工作的态度，哪怕你一次性地给所有穷人都安排工作，你也改变不了穷人的命运。
马尔可夫模型，真是“江山易改本性难移”、“授人以鱼不如授人以渔”这些话的数学原理啊。
咱们再说一个真实的例子。世界上所有国家可以分成三类：
- 自由国家
- 半自由国家
- 不自由国家
这三种国家状态是可以互相转换的，
- 一个不自由的国家哪天想通了，就可能变成半自由或者自由的国家
- 一个自由国家万一选一个独裁者上台，也可能变成不自由国家。
历史数据表明，不自由国家在五年之内变成自由国家的可能性大约是5%，变成半自由国家的可能性是15%，继续保持不自由状态的概率是80%……下面这张表格列举了三种状态之间切换的概率，
同时我们还知道，从1975年到2010年，这三种国家在全世界所占的比例是下面这样，
图中总体来看，自由国家是越来越多，不自由国家是越来越少。一个不懂数学的人看到这张图可能会说，哈！自由是大势所趋，将来所有国家都会变成自由国家！殊不知这就犯了简单外推谬误。
事实上，既然三种国家状态切换的概率是几乎固定的，这就是一个典型的马尔可夫过程，那么最终结果必定是一个三种国家按照一个固定比例分配的稳定状态。数学计算表明到2080年，世界上将会有62.5%的国家是自由的，25%的国家是半自由的，12.5%的国家是不自由的……
只要切换概率不变，世界上始终都会有不自由的国家。
0x3：用途
马尔可夫模型有很多应用。比如 Google 做搜索引擎，希望按照人们访问的热度给网页排序，但是Google并没有每个用户实际点击哪个网页的数据，它怎么办呢？它使用一个叫做 PageRank 的算法，其中就用到马尔可夫模型。
Google 能知道的是各个网页之间互相链接的情况。我们把网页想象成状态，那这些链接就相当于描写了马尔可夫过程中状态之间切换的概率。那么根据前面说的定理，网页被点击的比例终究是一个平衡态。Google 就可以计算出来，在统计平衡态之下，每个网页获得点击率的比例是多少，按照这个比例排序。
连有些意想不到的事儿，都是马尔可夫过程。
我们知道有一本著名的政治文献叫《联邦党人文集》，是由三位美国政治家，亚历山大·汉密尔顿、约翰·杰伊和詹姆斯·麦迪逊在1787到1788年间共同写作的。文集中有85 篇文章，可是因为三人使用了同一个笔名，人们并不知道到底哪篇文章是谁写的。
后世的历史学家经过多方考证确定了其中大部分文章的作者，但是还有那么几篇，历史学家表示无能为力。于是统计学家就出手了。
统计学家说，一个作者写文章的用词习惯，其实是个马尔可夫过程。
比如英文中有个短语是“for example”，而人们也会经常说“for the……”，对某一个作者来说，for 后面接 the 的概率，是接 example 的4倍。这就是一个用词习惯问题。比如我经常说“但是请注意”，而有的作者可能更喜欢在“但是”后面接一个逗号。
我们可以把每个常用词都想象成马尔可夫过程中的一个状态。因为每个作者的用词组合习惯非常固定化，统计学家就可以给每个人都做一张马尔可夫状态切换概率表。那么把一篇文章中相应词汇的马尔可夫概率表跟这个作者概率表进行对比，就可以知道这篇文章是不是他写的。
使用这个方法，统计学家判断，悬而未决的那几篇文章，最符合詹姆斯·麦迪逊的写作风格。
马尔可夫模型这么有用，说明“本性难移”是个常见现象。
但是请注意，生活中有些事情是“路径依赖”的，意味着后面发生的概率会根据之前发生的事情做出改变。比如原本有两种高清电视标准势均力敌，而你如果能一次性地说服几个重要厂商采纳其中一个标准，那其他的厂商为了兼容性，就会跟着选择这个标准。
而马尔可夫模型说的则是那些概率不随以前的历史发生改变的情况。那你说到底什么情况下用路径依赖，什么情况下用马尔可夫呢？你得灵活判断。
一个酗酒的人，你看着他一周时间不让喝酒，并不足以改变他酗酒的概率；但是如果你有办法让他连续一年不喝酒，也许他就真戒酒了。逢年过节找一帮志愿者去养老院给老人送温暖，不足以影响老人长期的精神状态；可是如果养老院弄个生活方式改革，也许就会有实际效果。
马尔可夫模型解释了历史的怪圈，它给我们的教训是历史很难改变。临时性的措施往往没长久的作用，本性的力量很强大。有些公司换个开明的领导人，可能干几年都挺好，之后又会走到老路上去。想要改变历史，你得改变机制。
八、骚乱的阈值
这一章的主题是阈值模型。
0x1：骚乱的模型
像街头骚乱、足球流氓闹事和示威游行这种事情，大部分参与者都有一种从众心理。有些人真是唯恐天下不乱。有些人可能有想法但是不敢干，得别人干了他才会干。还有更多的人，是本来没想法，是看到很多人参与了，他跟风参与。
据此，社会学家马克·格兰诺维特（Mark Granovetter），就是以发明了“弱联系”这个概念闻名的那个社会学家，提出了一个带阈值的骚乱模型。这个模型说每个人都有一个参与骚乱的阈值。比如我的阈值是100，那就是说我当且仅当看到街上已经有至少100个人参与，我就参与。
那么根据这个模型，我们设想有一千个人有可能会参与骚乱，看看是什么样的情形。咱们考虑三种情况。
- 第一种情况是每个人的阈值都是10，也就是每个人都需要等到街上有至少10个人参加骚乱才参加，可因为每个人的阈值都是10，就没人带头，结果骚乱就不会发生。
- 第二种情况，有5个人的阈值是0，有10个人的阈值是1，其余所有人的阈值都是20。一开始就会有5个人站出来，另外10个人看到已经站出来的5个人，也会参与进来。可是这15个人之后，就没有第16个人加入了，因为剩下的人阈值都是20！骚乱也不会发生。
- 第三种情况，这一千人的阈值分别是0、1、2、3……一直到999。那么第一个人会站出来，第二个人看到第一个人站出来，也会跟着站出来……以此类推，所有人都会参与到骚乱之中。
这三种情况的推演，告诉我们几个道理。
- 首先，骚乱是否发生，并不仅仅是由所有人的平均阈值决定的，而是由阈值的具体分布情况决定的。第一种情况每个人的阈值都是10，这个阈值很低，可以说大家都有相当强的骚乱意愿，但就因为缺少10 个带头的人，骚乱就没有发生。而第三种情况绝大多数人的阈值都很高，可以说大部分人都是老实人，但恰恰因为其中有带头的、有早期就追随的，骚乱反而发生了。
- 第二个道理就是你很难预测一场骚乱是否会发生。骚乱具有偶然性。
- 最关键的道理，当然是领头的人非常重要。你要想防止骚乱，最首要的就是要打击带头的，看谁想出头就赶紧把他摁住……
这个原理很有普遍意义。比如我们听领导做个报告，其实讲得也不怎么好，为啥时不时总有热烈的掌声呢？关键得有人带头鼓掌。鼓掌是一个非常社会化、非常从众的活动，类似于骚乱。
再比如在全球发生的MeToo运动。本来让一个女性站出来说自己被性骚扰，是非常困难的事情，但有些人率先站出来了，有些人跟进了，它就成了一场运动，进而成了一个时尚话题。再比如人们对同性恋婚姻的态度转变、流行时尚、比特币、金融泡沫，都有这样的特点。
阈值模型告诉我们骚乱具有不确定性和不可控性。有时候你不想要骚乱可是骚乱发生了，有时候你想要骚乱可是发生不了。
0x2：双骚乱模型
比发起一场骚乱更难的，是发起两场骚乱。
有个公司叫Airbnb，它的业务是共享住房。比如你在杭州有一套短期空闲的房子，你可以在Airbnb上发个广告，临时租给游客住几天。而这个业务能建立起来，非常困难。
想让游客能想起来到你这个网站上查询有没有空房，首先你的网站上得有大量的租房信息才行……可是想让出房主们愿意到网站上来发布出租信息，他们得首先看到网站上有大量的游客才行。那到底是先有游客，还是先有信息呢？
我们以前讲过尤德考斯基的《不充分均衡》这本书，其中有个概念叫“两因素”均衡：必须同时满足两个因素，这个均衡市场才能建立起来。这样的均衡特别难建立，但是一旦建立起来也特别难以被撼动。
Airbnb 曾经失败过两次。最后成功的办法是公司派人挨家挨户去找有空房的人，帮这些人制作租房信息。有了信息，还得再做广告，才能吸引到游客来看信息。你得做这么多前期的工作，业务才有可能开展起来，第一波参加骚乱的人，比第一桶金还难得啊。
这就叫“双骚乱模型”。
社会现象有时候是很神奇的。博弈论专家托马斯·谢林，也贡献了两个有意思的阈值模型。
0x3：隔离模型
观察现在的美国社会，一方面种族平等是绝对的政治正确，谁也不敢歧视谁；可是另一方面，黑人和白人常常是居住在不同的社区，可以说有个事实上的种族隔离。托马斯·谢林用数学模型说明，哪怕人们本来没有种族隔离的意愿，哪怕人都是很包容的，一群人也会形成事实上的隔离。这是为什么呢？
咱们考虑这么一个局面。现在有两个紧挨着的房间，中间有一道门，一群人正在这两个房间里开party。我们假设这一群人是20个男性和20个女性。大家都是思想开放的人，没有什么性别隔离的意识，都既可以和同性也可以和异性在一起聊天。我们还设定，人们可以自由地在两个房间来回走动。
开放是开放，我们假设人们还是有一定的性别阈值。比如说我作为一个男性，本来是和男女都能聊，但是如果我发现这个房间里除了我之外都是女性，我也会觉得这样的局面有点怪，我就会想要跑到另外一个房间去，我不想成为绝对的少数派，这个要求不过分吧？
开始两边的房间都是有男有女，人们在两个房间之间随机地走来走去。既然是随机的，只要经过足够长的时间，某个房间里的人数，就会达到一个临界状态。
比如说，一个房间中现在有 14 个男性和 2 个女性。我们可以想象，这时候如果其中一个女性离开房间，剩下的那个女性就也会离开这个房间，使得房间里只剩下男性。然后另一个房间里的男性作为少数派也会很愿意过来。这就出现了事实上的性别隔离。
这个故事听起来有点怪，但是生活中就真的有这样的事情，比如说职业选择。可能本来男性并不排斥去做一个护士或者幼儿园老师，但是当他发现从事这两个职业的绝大多数都是女性的时候，他大概也会选择别的职业。这里面没有任何性别歧视！只是一个阈值问题。
谢林的另一个模型能解释为什么总是黑人和黑人一起住、白人和白人一起住。我们设想一开始大家都是混合居住的，并没有谁歧视谁。
但是种族毕竟是个客观存在的现象，人们难免会对自己同种族的人有一种亲近感。如果你是个白人，你可能不介意旁边有个邻居是黑人，但是你可能也不希望周围全是黑人。你会有一个阈值，希望自己家四周至少有一家或者两家是同种族的人，这个要求不过分吧？
而计算机模拟表明，如果人们因为这么简单的原因而搬家，几轮之后，就会形成黑人和黑人一起住，白人和白人一起住的局面。
骚乱也好，隔离也好，它们有一个共同的特点：参与者很可能根本就没想要一个极端的局面，可是像骚乱和种族隔离这种极端局面居然就发生了。大多数人根本不爱出来凑热闹，却参加了一场骚乱；大多数人根本没有歧视思想，却参与了种族隔离。
托马斯·谢林据此提出一个学说，说每个人作为个体的“微观意愿”，和人群的“宏观行动”，完全可以是非常不一样的。温良的意愿也许会带来糟糕的集体行动。
九、”市场定位“是道几何题
我们要用数学模型研究“市场定位”这个问题。
商界的人喜欢谈市场定位：
- 你这个产品主打什么功能？
- 什么价格？
- 面向什么样的消费人群？
但定位并不仅仅是个商业问题，比如政客就也要讲定位，
- 你支持什么反对什么？
- 你主打什么议题？
- 你的基本盘是谁？
- 你要争取哪些选民？
- 等等
谈论市场定位我们还必须考虑竞争对手的情况。
- 现在这个市场中有多少玩家？
- 这是一个蓝海市场、黄海市场还是红海市场？
这些说法你可能已经很熟悉了，但是我相信，数学模型可以帮你看得清楚。而看清楚了，你就能获得一些洞见。
我们先说一个关键概念，叫“属性的维度”。
0x1：一维问题
我们想象这么一个场景。在一条直线形的海滩上，有两家卖冰激凌的小摊，A 和 B，像下面这张图中这样，
图中每个黑点代表一个消费者。我们假设这两家的冰激凌的价格和味道都是一样的，那么消费者决定去哪家买，就只和距离有关：他们会去距离自己最近的冰激凌摊。
这个场景我们以前讲博弈论的时候说过，但这里我想用它说明一个概念：“属性”。这两家冰激凌摊竞争的只有一个属性，那就是距离。它们所谓的不同定位，就是距离上的差异。
表现在数学上，这就是一个一维的问题。我们画一条线，两家冰激凌摊的定位就在这条线上。我们把这条线叫做“属性空间”，也就是市场上各路玩家争夺的领地，对这个问题来说，属性空间是一维的。
而有了空间和定位，就要划分地盘。图中在A、B两点正中间的那条竖线就是两家地盘的分界线，分界线左边的消费者都会在A家买，右边的消费者都会在B家买。
这个一维属性完全可以是别的东西。
- 换一个场景，A、B可以是在同一个位置卖不同口味的冰激凌商家，可能一个奶油多一个奶油少，这也是一维定位。
- 我们还可以把A、B想象成两个政客，他们的政治立场一个偏左一个偏右，那么显然左边的选民会支持A政客，右边的选民会支持B政客。
不管是什么属性，只要是一维的，我们就可以如图中那样划分地盘。
而根据博弈论，这个一维的问题有个最优解。冰激凌摊应该摆在海滩上正中间的位置。对政客来说，他应该把所有选民从左到右排队，然后自己选择排在中间的那些选民的立场，这个道理叫“中间选民定理”，政治选举演化到后期，总是中间选民的立场最容易被政客代表。
那你可能就会问了，为什么真实世界里的政客并不都是采取中间立场的呢？为什么真实世界里商品的口味什么都有，并不都在中间呢？
那是因为真实世界不是一维的。
0x2：二维维度
真实世界里的商品常常会在多个属性上争夺消费者。
咱们考虑一个两维的局面，卖巧克力。假设巧克力有两个维度，
- 一个是可可粉的浓度，有人喜欢重口味有人喜欢轻口味
- 一个是糖的浓度，有人喜欢甜的有人喜欢淡的
用数学模型表现，二维的属性空间就是一个平面的图形，
图中横坐标表示可可粉的浓度，纵坐标表示糖的浓度。A和B是两个品牌的巧克力，各自吸引不同的人群。我们连接AB，对这条线做中垂线，这个中垂线就是A和B地盘的分界线。从几何学上来说，分界线左边的消费者的口味偏好距离A更近，他们会选择A品牌，右边的消费者则会选择B品牌。
那现在假设你面对这个市场格局，也想做一个自己的巧克力品牌，我们称之为C品牌。那你的定位应该放在哪里呢？
产品定位不是一个直觉问题，不是说你喜欢什么样的产品就做一个什么样的产品。你必须考察市场上已经有哪些产品，他们的定位都是什么样的。
你画一张图，看看消费者的分布情况，看看别人的地盘中有什么薄弱的地方，算算自己定位在哪里能抢占最大的地盘和最多的消费者。
你需要数学思维，更准确地说是几何学思维。比如如果C产品定位在高可可粉低糖的右下角，三家的势力范围就会按照下图划分，
然后你还要考察这个区域中有多少消费者。所以你看，市场定位其实是一道几何题。
- 成熟的市场中消费者是根据你产品的定位决定是否购买
- 成熟民主政治中的选民是根据政客的立场投票。
美国议员和大法官的政治立场在很大程度上是非常稳定的，他们都有自己的定位。要得到我这一票，你长得好不好看、甚至你是不是好人都不重要，重要的是你赞成什么、你反对什么。
几何学思维马上就能给我们一个洞见，那就是如果至少有两个属性维度，“中间选民定理”就是不成立的。这是因为从二维平面中的一点向四周看，会有无数个方向，那么除非选民是绝对均匀分布，你不可能保证每个方向上两边的选民都正好一样多。
比如我们看下面这张图，
图中每个“v”代表一个选民，总共有5个选民。圆圈处的那个政客采取最中间的立场，看起来离所有选民都比较近。可是另一个政客马上就可以在方块那个位置插入！两人划分势力范围，方块的地盘小，但是里面有3个选民，是个多数。
这个道理是只要属性达到二维以上，产品定位就只有一个往中间走的趋势，而不是必须位于中间。这里面没有必胜的定位！
用数据的思维方式理解就是，在真实世界中，因为选民的分布并不是均匀的，所以选民代表的多位平面数据集是「线性不可分」的。
正是这个数学性质保证了市场的多样性。我们看到真实世界里的市场中什么样的产品都有，总有新品牌进入的机会。
而这本质上是个几何学的道理……几何学还能告诉我们更多东西。
0x3：定位与价格
我们前面讲的都是对“属性”的定位，特点是不同消费者对属性的偏好不一样。而产品还有一些别的特性，则是全体消费者有一致的偏好，比如说价格，全体消费者都希望价格越低越好。
这就意味着，同样属性的商品，如果我把价格降低一点，那我的势力范围就应该扩大一点。比如说，如果A家的冰激凌降价，那么有些消费者就会宁可舍近求远，也要选择它家的冰激凌。当然不同消费者对价格的敏感度不一样，但是平均而言，我们可以认为人们在总体上，会为了多省一块钱，而放弃一点对属性的要求。
那么我们就可以设定，消费者选择商品使用的效用函数，应该跟商品的价格成正比。而这也就意味着，一款商品降价，就相当于把它的边界线向外平移了一段距离。
那价格战有多大用处呢？咱们看下面这张图，
图中 A、B 两个品牌本来已经分好了势力范围。现在B决定降价，结果就是B产品的势力范围会往左移动一点，B的领地变大了。
但是领地变大可不一定能弥补降价带来的损失。我们设想A和B原本各占50%的地盘，现在B把价格降低10%，这个举动使得他的地盘从50%扩大到了54%。如果消费者是均匀分布的，那这也就是说，B的地盘扩大了8%，可是价格降低了10%，这相当于总收入下降了3%。所以B根本就不应该降价！
B不应该降价的根本原因是B原本的地盘太大了，它面对的是一个没有多少竞争对手的、稀疏的、蓝海市场，一旦贸然降价，价格损失会非常大。
那我们再看看拥挤的红海市场是什么样的情形，
上图中市场上有很多家品牌，每家的地盘都很小。B同样把价格下降10%，因为消费者眼中的一块钱就是一块钱，B的边界线会向外平移同样的一段距离。而这次扩充边界，对领土很小的品牌来说可就太重要了。B的地盘扩大了三分之一，即便考虑到降价，总收入也提高了20%。这个价格战应该打。
这两个例子给了我们一个洞见：要不要打价格战，和市场的拥挤程度有关系。
- 如果竞争对手很少，你面对的是一个蓝海市场，那你降价只会伤害自己的收入。
- 如果竞争对手很多，你面对一个红海市场，价格战就能立即扩大你的市场份额，就很有效。
那市场的拥挤程度和什么有关呢？和属性维度有关。
- 比如像成品油啊、标准小麦这种商品，谁家生产出来的都是一样的，等于说属性维度是 0，那价格就是唯一重要的因素。
- 而像海滩上的冰激凌，至少还有位置这么一个因素，是个一维市场，有些商家仗着地利就可以拿个高价。
- 属性空间的维度越多，各个品牌就越容易找到属于自己的市场定位，在那里不需要面对很多竞争对手，就越没必要打价格战。
以前苹果几乎是高端手机市场唯一最好的品牌，它当然可以要一个高价。苹果从来不打价格战，它拥有市场上最高的利润率。但是现在随着华为之类中国品牌的崛起，苹果在属性空间上的领土正在被人入侵。如果将来苹果不再具有独一无二的技术优势，它就必须降价。
所以最好的创新应该是发明一个新的属性，打开一个新的定位维度，在那个维度上没人能跟你竞争，只要消费者对你认可，你就可以要一个高价。
总结来说，模型思维能把“市场定位”这个问题变成几何学问题。产品的品质属性决定了定位空间的维度：一维就是一条线，二维是一个平面，三维是一个立方体，还可以有四维、五维。每一个定位都是属性空间中的一点，各个品牌根据定位划分地盘。
- 维度越低，属性空间就越容易拥挤
- 空间越拥挤，各家就越容易打价格战……
所以只有属性维度上的创新才能带来真正的蓝海，才能真正有可能获得一个高的溢价空间。
那你可能会说，这些道理我都懂啊！你可能懂，但是如果不用数学，你所谓的懂就都是一些直觉：你知道这个道理重要，但是你不知道这个道理有”多么“重要。你不会把问题量化，你就不容易做出精确的决策。
十、什么是”好“的复杂
这章，我们要讲一个特别重要也特别美好的数学概念，叫“李雅普诺夫函数（Lyapunov function）”，它是以俄国数学家亚历山大·李雅普诺夫命名的。这个东西已经有超过一百年的历史，但是并没有在民间流行。
理解了李雅普诺夫函数，你就能领略一点数学家的思维方式，看看数学家如何从一个问题中提炼出一个好思想，然后把它推广到其他问题中去。你还可以获得一个对世界的洞见，然后用这个洞见去处理一些真问题。
我们想研究复杂系统的均衡态。
均衡，我们已经说过多很多次了。
- 博弈论里有“纳什均衡”
- 经济学讲的“有效市场”也是均衡
- “马尔可夫过程”最终也会走向一个均衡。
什么是均衡呢？说白了，就是不管你这个系统有多复杂，不管一开始有多么动荡，它最终会达到一个稳定的、井井有条的状态。比如我们身处的现代社会很复杂，每个人都是自由的，你今天上班也行，请假不上班也行，你愿意购物还是旅行都可以，可是整个社会不会乱，不会动荡不安，这就是均衡。
我们要问的是，一个复杂系统需要满足什么样的条件，才能确保会达到均衡呢？这个问题听起来很难，但是数学家找到了一个特别简单的解，这就是李雅普诺夫函数。
0x1：李雅普诺夫函数
咱们想象一个虚拟的场景。从今年开始，美国每个州都实行一项福利政策，给最无助的穷人发放补贴金。有的州给每人发1000美元，有的州发800美元。这是一个献爱心的事儿，各州都要表示一下，但是又都不想比别的州发得多，不然困难人群就都搬到你这个州来领补贴了。
我们设想一个这样的数学模型。第一年，各州都不知道别的州发多少钱，给的数额都比较随意。从第二年开始，每个州发放的数额，都至少要比前一年所有州平均值的2/3，再少一块钱。
那请问在这种情况下，经过若干轮的演化之后，系统会达到一个什么样的状态？
答案是一个最终每个州都不给钱的均衡态。
这个道理比较容易想明白，但是咱们使用一个正规的证明方式。我们设想这么一个函数 L：L = 每年给钱最多的州给了多少钱
咱们看看 L 的取值会怎么变化。不管第一年 L 是多少，第二年的 L 肯定会比第一年的 L 的2/3还要至少要少一块钱，……以此类推。L 显然满足下面这两个条件，
- 1. L 的取值，每一步都比前一步至少要减少一个固定的数值；
- 2. L 存在一个最小值。
满足这两个条件的函数，就叫李雅普诺夫函数。比如对咱们这个问题来说，不管前一年的 L 是多少，这一年的 L 至少比它少 1 块钱；而 L 的最小值是 0。
那么数学家提出一个定理，说对于任何复杂系统，只要你能在其中找到一个李雅普诺夫函数，这个系统就终将会演化到一个稳态。
为啥呢？因为系统演化的每一步，L 都至少要减少不是无限小的一点点，这叫“不怕慢，就怕站”，而 L 还有个最小值，所以 L 就终归会达到那个最小值。而到那个时候，就意味着系统进入了一个不变的状态，这就是一个均衡态。
减少福利的例子能帮你理解这个思想。各个州减少福利的游戏不会一直玩下去，等到减无可减，也就是大家都是 0，自然就是均衡。
现在咱们把这个思想再用一次。
0x2：自组织
社会活动为什么是一个均衡态呢？以前亚当·斯密提出“看不见的手”这个说法，说市场可以自动调节每个参与者的活动，更现代的学者把个现象叫做“自组织”。可是到底为什么看不见的手这么有效，其实我们还需要一个数学证明。
我们考虑这么一个社会系统模型。社会中有多个地点，比如有咖啡馆、有健身房、有面包店等等，每个人可以任意选择在某个时刻去某个地点消费。时间长了之后大家都形成了各自的消费习惯。那么我们可以证明，这些习惯将是一个均衡态，每个地点都不会特别拥挤或者特别冷清，一切都井井有条。
想要证明这一点，你只要能找到系统的一个李雅普诺夫函数就行。
我们先定义一个概念，叫“拥挤度”。对个人来说，你的拥挤度，就是在同一时间和同一地点，跟你一起做同一件事的人数。比如我到一个咖啡馆喝咖啡，如果除了我之外，现在还有20个人也在这里喝咖啡，我的拥挤度就是20。
然后我们定义这么一个函数 L，L = 全社会总的拥挤度，也就是把所有人的拥挤度加起来之和。
好，现在我们可以证明，如果社会上的人都比较理性，L 就是一个李雅普诺夫函数。
比如有一位王女士，本来每天早上8点钟去健身房健身，下午4点去喝咖啡。如果她发现早上健身的人很多，喝咖啡的人很少；而下午喝咖啡的人很多，健身的人很少，她就有可能改变自己的生活习惯。
如果王女士改为上午喝咖啡，下午去健身，我们看看社会总拥挤度 L 会发生什么变化。首先王女士现在去的两个地方的人都比以前少了，所以她自己的拥挤度会下降。再者，王女士在每个地点，都给那个地点所有的人都增加了一个拥挤度，而现在她改为都在低峰时候去，那么被她提供拥挤度的人数也会减少。所以不论是对自己还是对别人，王女士这个改变，都降低了 L 值。
如果系统中每个人都像王女士这样自我调整，L 就是一个不断下降的函数，而且L显然有一个最小值（因为再小也不会比 0 小），所以 L 是个李雅普诺夫函数。
那既然这个系统有李雅普诺夫函数，它就一定会达到一个拥挤度最低的均衡状态。你看这就是李雅普诺夫函数的妙处，也许这系统有很多个李雅普诺夫函数，而你只需要找到一个就行，只要能找到一个，你就证明了系统的均衡性。
当然真实社会中并非每个人都像王女士这么“理性”，有的人就喜欢凑热闹，而且有时候一群人集体转移战场也会增加拥挤度……但是，那些情况并不常见。通常情况下人们都是避开拥挤，自我调节。这条路太堵了，我就换一条路。今天晚上电影院人太多，我就换个时间来看电影。
而因为你有了李雅普诺夫函数这个眼光，你就能判断，哪怕社会再复杂，它也终将会达到一个”相当“均衡的状态。
0x3：自由贸易
为什么我们应该提倡自由贸易呢？因为当商品发生交换的时候，买卖双方都会感到有利。
如果你愿意花50块钱买一本书，肯定是你觉得这本书对你的价值超过50块钱；而卖书的人则认为50块钱对他也是合算的，这样你们才能达成交易。
那既然如此，自由的商品交换中就应该存在一个李雅普诺夫函数，L = 社会总幸福度。
首先每发生一次商品交换，买卖双方的幸福度就会都增加一点，所以 L 增加。其次因为商品是有限的，社会总幸福度必然有一个极大值。这和我们前面说的 L 总减少而且 L 有极小值的道理一样，所以 L 是李雅普诺夫函数，所以社会应该会达到一个到处都是自由贸易的理想状态。
……可问题是为什么现在各国都有很多反对自由贸易的声音呢？为什么要搞贸易保护呢？因为我们定义的这个 L，其实没考虑周全。
每一次商品交换，的确是买卖双方都满意，但是第三方可能会有人不满意。你俩的幸福度上升了，别人的幸福度却可能因为你俩这次交易而下降。
佩奇举的例子是伊拉克想用石油换巴基斯坦的原子弹技术。这两个国家的确是高兴了，可是国际社会可不干。邻国不希望伊拉克有原子弹，地区关系会变得紧张，别人不得不采取军备竞赛之类的行动，于是整个系统会不稳定。
一般国际贸易也是这样。中国的商品出口到美国，中国的商家挣到了钱很高兴，美国的老百姓买到便宜东西也很高兴，那谁不高兴呢？特朗普不高兴。美国那些因为进口中国商品而失去就业机会的生产者不高兴。
这种旁观者的不高兴，就是经济学家说的“负的外部性”。因为存在负外部性，前面说的那个 L 就不一定是李雅普诺夫函数。经济学家总是呼吁自由贸易的好处，而数学家一看就知道这个系统不会达到完全自由贸易的理想状态。
关于自由贸易的问题，还可以参阅另外这两篇文章，
0x4：应用
李雅普诺夫函数这个思想很简单，所以也很有用。
佩奇有个学生，他上班的公司，有一次搬到了全新的办公室，老板突发奇想，说我们应该随机安排员工座位，然后允许任何两个员工互相调换座位。老板认为这个思路符合自由市场的原则，相信员工们会自组织，达到一个最优的平衡态。
但是佩奇的学生学过模型思维，马上就指出这么做不对！学生说换座位是能让换座位的双方满意，可是它有一个负的外部性啊，他俩原来的邻座可能会不满意！邻座会想，你换座位是不是因为不喜欢我呢？而且你换这个人过来也没征求我的意见啊，我不喜欢他！所以换座幸福度不是李雅普诺夫函数。老板一听有道理，就打消了这个想法。
后来老板又有一个新想法，他买了各种不同款式的办公座椅，随机发给员工，然后让员工自由交换座椅。佩奇的学生一看这个是可行的，因为座椅只影响到交换的双方，第三方的人不在乎你坐什么样的椅子，其中没有负的外部性，所以幸福度是个李雅普诺夫函数……
也许就算不知道李雅普诺夫函数，你也能找到其中的问题，但是有了李雅普诺夫函数这个概念，你从此就会对复杂系统的演化非常敏感。数学模型能让你的脑子里多一根弦。
咱们好好体会一下这个思想的妙处。不管是多复杂的系统，数学家说只要你能抓住其中一个关键变量，你就能证明它会是均衡的。
请注意这个道理反过来可不一定对：并不是所有均衡系统都有李雅普诺夫函数。就有一些系统，经验表明是均衡的，可是数学家就是没有找到它的李雅普诺夫函数，所以没办法证明它为什么一定会达到均衡……这在数学上是一类很有意思的问题。
李雅普诺夫函数，是数学家的战略性武器。
十一、”吃一堑长一智“的数学模型
这一章我们来研究一个有关学习的模型，说人应该如何从经验中学习，从而做出明智的选择。
我们以前讲计算机思维的时候引用过软件工程专家弗瑞德里克·布鲁克斯（Fred Brooks）的一句话，“好的判断来自经验，而经验来自坏的判断。”用咱们中国人的说法，这其实就是“吃一堑长一智”。
- 看书学知识效率最高，可是有些知识是书本上所没有的。
- 哪个饭店的菜好吃？
- 哪个品牌的鞋适合你？
- 哪个教授有真学问？
- 谁更值得合作？
- 关键任务能指望谁？
这些问题的答案只存在于每个人的特定经验之中，可能你得用一身伤痕才能换到一分体会。
一个人哪怕不会什么专业技能，但是能知道身边各种东西的好坏，在各个选项中能选对的，就也算是活明白了，可惜很多人明白的时候已经老了。那有什么办法，能让我们加速活明白呢？
- 以前我们讲《指导生活的算法》这本书的时候，说过一个“先观察后决策”的模型，也就是著名的“37%规则”，你应该用前面37%的时间只观察不选择，先知道什么东西是好的，然后用剩下的时间遇到好的就马上拿下。
- 我们还讲过一个“探索—收获”模型，说人应该在年轻的时候多探索，这样老了就可以享受探索的成果。
这两个方法的缺点是都有一定的时间性，要求你先积累经验，再使用经验。但我们进入成年人的阶段，往往要一边积累经验一边使用经验，而且还要快速积累经验。那这应该怎么办呢？数学思维能帮你看清楚其中的关键。
0x1：自增强学习法
有一个诡异的故事，也许你听说过。说从前有一位女孩，在参加亲人葬礼的时候，遇见了一个很英俊的男子。女孩很喜欢这个男子。过了一段时间之后，女孩就把自己的姐姐杀死了。请问这是为什么？
答案是因为女孩希望再次见到男子。她唯一遇到那个男子的场合是在家族的葬礼上，所以她想要再举办一次葬礼。
当然这是一个虚构的故事，女孩的做法肯定不对……但是，女孩的思路有合理性。你做一件什么事儿如果得到了奖励，你以后就应该多做这样的事儿。这就是从经验中学习的真谛。
咱们中国人说“吃一堑长一智”，强调要从错误中吸取教训，可是我们看动物园里那些驯兽师好像不是这么干的。驯兽师对动物从来都不是使用打骂法，而是使用奖励法，是完成一个好动作马上给吃的。动物也许完全不懂人为什么要让他做这个动作，但是只要他知道这么做会得到好吃的，他就会乐意这么做。驯兽师希望动物“记吃不记打”，你对错误动作没有必要有太多深刻印象，学习学的是正确动作。这个原理，早在一百年前就已经被美国心理学家爱德华·桑代克（Edward Thorndike）用实验证明了：奖励比惩罚更有利于学习。
桑代克通过拿小猫做实验，发现两个规律，可以直接指导我们的学习模型。
- 第一个规律是当小猫完成一个正确的动作之后，你给它的奖励越多，它学得就越快。
这也就是说学习是个“正反馈”的过程，奖励就是鼓励。现在有很多学者研究从经验中学习的数学模型，首先想到的就是奖励。比如我们设想，你在生活中面临A、B、C、D……各种选项，你做每个选项，都会得到一定的奖励，或者惩罚，当然我们可以把惩罚视为负的奖励。
如果各个选项的奖励值都明确地摆在你面前，那就非常简单了，你直接选择奖励最大的那个选项就行。但真实世界根本就不是这样的，是跑步好还是散步好？是“得到”好还是“抖音”好？这些事儿的“奖励”往往是难以量化的，而且你也记不住。
所以我们真实的学习都是理性结合感性慢慢摸索，没有那么黑白分明。最简单的方式，用数学模型描写，叫做“自增强学习法”。
我们设想，对每一个选项，你心中都有一个“心理权重”。这件事的权重越高，你就越愿意做这件事。但是请注意，这里所谓的“愿意”只是说你会增加做这件事的概率，而不是说你从此就”只“做这件事，因为总做一件事会边际效应递减，而且做点别的也许还能收获惊喜。
所以自增强学习法是个概率模型。概率来自权重，而权重来自奖励：如果这个选项给你带来了奖励，你就相应地提高它的权重。随着系统的演化，你就会多做奖励高的事情。不过仅仅这样的话这个模型的学习速度还不够快。
- 桑代克发现的第二个规律是，如果你给小猫一个超出它预期的奖励，它就学得更快。
心理预期是个很有意思的现象。比如我每天读一点网络小说都能收获一点快乐，相当于奖励值是 10。如果读一本经济学的书带给我的奖励值只有 8，虽然也可以说是有收获，但是对我来说就不够刺激。而我读《模型思考者》这本书，获得了 15 的奖励，那就非常令人欣喜了，所以在这三本书里面，我就会更乐意选第三本。
考虑到这个原理，我们可以在学习模型中设定一个叫做“渴望水平”的值，代表我们对奖励的心理预期。调整权重的时候，我们不是直接用奖励计算，而是用（奖励 - 渴望水平）计算。也就是说，一般的奖励不会让我增加、而且可能还会降低这个选项的权重，只有当奖励超出我的渴望水平的时候，我才会增加权重。
那么接下来就是数学的威力了：数学家证明，引入“渴望水平”之后，我们能用最快的速度学到回报最高的选项。
数学模型必须使用严格的公式描写这个学习过程，但这个模型的本质是假设我们都是不擅长精确量化、有点凭感觉行事的人。人很不善于记住具体的数值，但是人很善于记住一件事带给你的”感觉“。自增强学习法是个理性结合感性的方法。
比如你刚刚升级为父母，不知道孩子爱吃什么水果。自增强学习法是这样的，首先给所有水果的权重都是 50，
- 第一天你给孩子吃香蕉，你发现他挺爱吃，于是就把香蕉心理权重提高了，比如从 50增加到55。
- 第二天你又给孩子吃香蕉，他还是挺爱吃，但是你感觉上跟上次的奖励差不多大小，而因为你的心理预期已经提高了，香蕉的权重就不会增加。
- 第三天你给孩子吃苹果，你发现他吃得挺好但是好像不像昨天那么爱吃，那么虽然这个反应是正面的，你也要降低苹果的权重。
- 第四天你给孩子吃了橘子，他非常喜欢，超出了你的预期，于是你把橘子的权重一下子提高到60。
- 那么接下来，你应该以更高的概率喂橘子，但是对其他的选项也保持兼顾。
这个过程说起来挺简单，而没有学习意识的人就做不到，特别是做不到学这么快。
0x2：从别人的经验中学
自增强学习法能让你用最快的速度从自己的经验中学习，但是更快的方法，则是从别人的经验中学习。
有一个模型是你观察一大群人，看他们在各种选项得到什么样的奖励。这个模型要求你对当前经验的平均奖励有一定的估计，作为你的心理预期。那么接下来比如你看老王做 A 这件事儿得到的奖励比你的心理预期高，你就提高 A 的权重。
这就叫“见贤思齐”，而数学上可以证明，用别人的经验学习速度更快。这当然是因为你的样本量大大增加了。我们看一个什么新鲜的好东西在大城市的流行速度会比小地方快得多，这大约就是因为人们在人员密集、交流充分的地方更容易互相学习。
但是我们要注意一点，通过别人学到的经验，和自己学到的经验，不一定是一致的。
0x3：绝对进步和相对进步
佩奇说了一个有意思的例子，叫做“慷慨/恶意博弈（The Generous/Spiteful Game）”。
从前有一天，你发现了一盏神灯，你一擦这个灯，出来一个灯神，说可以满足你的一个愿望。但不管你的愿望是要什么，灯神都会双倍地给到你身边的人。比如你想要1万块钱，你身边的人都会得到2万块钱。那你想要什么呢？
有个人选的是让灯神戳瞎自己的一只眼睛。这样他身边的人都会被戳瞎两只眼睛，他就获得了相对于别人的一个优势。宁可损己，也要损人。
生活中真有这样的人吗？在某种意义上来说，中美贸易战就是这个情况。不打贸易战两国经济都能照常前进；打贸易战，对中国经济的伤害可能更大一些，但是对美国经济也有伤害。那特朗普为啥非得打贸易战呢？
美国政治学家肯尼思·沃尔兹（Kenneth Waltz）有句话说，“国家首先要考虑的不是怎么让自己的力量最大化，而是保证自己在系统中的位置。”也就是说为了确保自己的优势地位，哪怕杀敌一千得自损八百，那也得干。
当然肯定不是所有人都会这么干。在这个慷慨和恶意的博弈中，如果你选择慷慨，你的自身状态会越来越好；而如果你选择恶意，你相对于别人的地位会越来越高。
而数学推演表明，
- 如果你使用自增强学习法从自己的经验中学习，你会变得越来越慷慨
- 如果你采用第二个学习方法，向别人学习，你会变的越来越恶意。
那到底应该看自己还是看别人呢？这是一个两难问题，答案也许取决于你的价值观，所幸的是生活中的局面并不都是这样的博弈。我只是想告诉你，有时候看自己和看别人是不一样的。
简单的数学模型告诉我们，要想从经验中快速学习，你必须是一个敏感的人。
- 第一，你必须对奖励非常敏感，才能迅速调整各个选项的权重，让自己学会多做好事，少做坏事。
- 第二，你还需要随时调整自己的心理期望。对所有事情都敏感就等于对所有事情都不敏感。有一个比较高的期望阈值，一般的奖励不能让你兴奋，你才更愿意去追求奖励高的事情，你才能更快地找到最佳选项。期望值过低的人会习惯性地去做一些低回报的事情。
- 第三，参考别人的经验能使你学得更快，不过你得注意自己到底想要什么，别人和自己毕竟是两回事，比如有的人只想比别人强，那种人未必真值得我们学习。
十二、路径依赖
这一章我们用数学模型来描写一下什么叫“路径依赖”。
你肯定经常听说“路径依赖”这个词，它的意思是说一件事情之所以是现在这个样子，很多情况下并不是因为它就”应该“是这样、不是它“注定”是这样，而是历史上的一些偶然的原因导致它是这样。路径依赖这个概念，能让你有一个更清晰的历史观，而且还可能提醒你在命运转折的关键时刻谨慎行事。
世界上的很多事情是有道理而且有规律的。
- 一个聪明学生发奋努力学习，就能取得好成绩
- 一个政府无节制地盘剥人民，人民就会不满
- 一个公司招揽到第一流的人才，就可能做出第一流的创新
- 在讲马尔可夫模型的时候，也说过像宿命论一样的规律。
而大多数事情则属于偶然和随意的选择，发生没发生都不重要。
- 你今天穿什么颜色的衣服
- 上班路上遇到什么情况迟到了
- 小孩上学的学校好一点还是差一点
- 甚至包括买彩票中了百万大奖
可能你当时以为很重要，其实没多大影响，都会回归均值。
但是也有一些当时看起来很小的偶然事件，在历史上导致了重大差别。比如你二十年前在一个很随意的场合认识了一个叫马云的人，他邀请你加入一个叫做“阿里巴巴”的公司。你认为他说的不怎么靠谱，但是这人挺有意思，你一念之差，就答应了……这就好像有些人考大学就差一分，此后的人生境遇可能就很不一样。
这种因为偶然事件导致重大差别的情况，就是路径依赖。对这种事儿你光用心体会、什么感慨人生，那没啥用，要想从路径依赖现象中获得一点洞见，我们应该使用数学方法。
0x1：模型
用数学语言来说，所谓路径依赖，就是过去发生的事件，会改变未来事件发生的概率。
我们先说一种“良性的”偶然，也就是不会导致路径依赖的偶然性。我们设想有一个不透明的罐子，里面装了很多小球。每个球的大小和质地完全相同，只是颜色可以不同，有黑球和白球。我们设想的操作是你每次从罐子里摸出一个球，看看是什么颜色，做好记录，然后再把这个球扔回到罐子里去，这个罐子，叫做“伯努利罐”，以概率论的祖师爷雅各布·伯努利的名字命名。
从伯努利罐里摸球，概率是不变的。如果罐子里一共有40个黑球和60个白球，那你每次摸到黑球的概率就都是 40%，白球都是 60%。这当然是因为你每次都把球放回去，罐子的局面不会变。
像这样偶然性翻不了天。如果你喜欢黑球，哪怕你连续十次摸到黑球，你下一次摸到黑球的概率也还是只有 40%。偶然的好运气对将来没有任何影响，你暗自高兴一下也就完事儿了。
我们再考虑另一种情形，叫“波利亚罐”，以匈牙利数学家波利亚·哲尔吉的名字命名。一开始波利亚罐里只有一个白球和一个黑球，你也是随机摸球，但是规则变了。现在你每次摸出来的球是什么颜色，把它放回罐子里的时候，还要再多放一个相同颜色的球进去。比如你拿出一个黑球，就要放回两个黑球。
开始是一黑一白，摸到黑球的概率是 1/2；
如果你第一次摸到一个黑球，波利亚罐里就变成了两黑一白，那么下次摸到黑球的概率就会变成 2/3；
如果第二次又摸到黑球，就变成了三黑一白，下次摸到黑球的概率就变成了 3/4……
你每次摸到什么颜色的球，就会增加波利亚罐里那个颜色的球的个数，就会提高下一次再摸到这种球的概率。这就叫路径依赖。
可能纯粹是出于偶然，你在前面几次摸球摸到黑球的次数比较多，那么罐子里的黑球就会显著地比白球多，那么以后你再摸到黑球的概率就会明显高于白球。黑球并没有“做对”什么事情！它只是因为早期运气好，就彻底改变了自己的命运。
路径依赖，是个“不公平”的正反馈过程。
0x2：应用
提到路径依赖，人们最先想到的一个例子就是现在都在用的QWERTY键盘。有个说法认为这种键盘的字母排列布局其实是不合理的，当初的人之所以把键盘设计成这个样子，是为了降低人们的打字速度，防止老式打字机的键杆撞在一起卡壳。
那现在的键盘都没有键杆了，打字速度再快都能承受，为什么还用这个不合理的QWERTY布局呢？因为路径依赖。最早的打字机，不管是出于什么原因，使用QWERTY布局，当时的用户就不得不学习这种布局。用户已经适应了，再出新的键盘也只好使用这个布局。因为谁也不愿意重新练习一套打字技能，现在有人发明了有更合理键位布局的键盘也无法流行开来。由此一代一代的新用户适应键盘，新键盘适应用户，我们就被锁定在了QWERTY布局之中。历史上的小事件，彻底改变了后世路径的概率。
同样的例子还有铁轨的宽度是由最早马车的车轮宽度决定的。
路径依赖给我们的教训是一个东西能流行可能并不是因为它的品质好，而是因为它的运气好，或者说，它早期的运营比较成功。以前录像带标准的 VHS 和 Betamax 之争，后来高清DVD标准的蓝光和 HD 之争，都是哪方的越人多，哪方的优势就越大。剧情都是一开始相持不下，后来有一两家大公司临阵倒戈，突然打破平衡，导致一方有了一个小小的优势，而因为每个媒体公司都想提高自己的兼容性，这个小小的优势就足以说服其他公司加入你的阵营了。
注意路径依赖和我们之前讲的“传播公式”和“骚乱的阈值”还不太一样。
- 传播公式说一个东西能流行开来，跟这个东西自身的素质很有关系
- 骚乱阈值说一个东西能流行跟传播者的素质很有关系
- 而路径依赖则是说，这个东西能流行可以跟任何东西都没关系，纯粹是因为早期的偶然选择，导致了流行这个而不是那个。
一支有一百年历史的足球俱乐部，它的主场球衣一直都是红色。为什么非得是红色呢？难道红色最符合这个地区人民的精神吗？并不是。历史上最早可能只是偶然的选择，但是俱乐部和球迷很愿意传承历史，既然是红色那就一直都是红色吧。而这个道理又表现在其他俱乐部什么颜色的球衣都有，红色并不特殊。
像键盘布局和DVD格式这种是模仿有好处，而有些时候人们单纯就是为了跟别人一样而模仿。如果一个人看到大部分人都开黑色奥迪，他买奥迪车的时候就也会更愿意选择黑色。
路径依赖这个不讲理的特点让人很难对市场的倾向做出预测，商家不得不采取一些手段。一个办法是先预定再生产，你告诉我要什么颜色，我给你涂成什么颜色。以前不能这样生产汽车，就只能用另一个办法，那就是根本不给选择权：福特公司曾经有个说法，说我们可以满足消费者对任何颜色的需求，只要你选的是黑色就行。再比如第一代苹果手机只有黑色这一个选项，那时候苹果不愿意为消费者的颜色偏好冒险。
除了偶然性，路径依赖还有一个关键特点，即路径很长。
0x3：路径很长
像键盘布局这种一把定终生的路径依赖事件其实并不常见。我们考察波利亚罐这个模型，摸球可不是摸一次就定了，路径依赖通常还是需要若干个关键事件的共同作用才会形成。
今天绝大多数个人电脑都使用微软的 Window 操作系统，为什么微软公司这么厉害呢？考察历史，微软摸到的第一个黑球是在1979年。当时 IBM 公司刚刚生产出了第一代个人电脑，没有现成的操作系统，微软凭借从别人那里买来的 DOS 拿下了给 IBM 电脑做操作系统的订单。现在说起来，这简直是计算机历史上最重要的一个订单，比尔·盖茨的手段厉害是一方面，他运气也实在是太好了。
可是对身处历史现场的人来说，你听说了这件事，就会all in微软吗？你能断定微软会成为制霸全球的电脑公司吗？你不会的。
在那个年代，个人电脑的市场份额是微不足道的。那时候没有互联网也没有什么好用的软件，像今天常见的办公软件、游戏软件统统不存在。没人会觉得两个退学生办的小公司能有多了不起。你根本不能保证会不会有别的公司再做一种个人电脑跟微软和 IBM 抗衡。
微软的成功，是因为它连续摸到了黑球。DOS 操作系统的兼容性好，能够方便人们开发各种应用程序和游戏。微软还自己开发了 Office 办公软件，把游戏平台做得很好，这都刺激了个人电脑的流行。可以说个人电脑这个市场，就是微软创造的。
所以微软并不是一次就抓中了大奖。它是像波利亚过程那样，一次又一次地抓到黑球，而它之所以能一次又一次地抓到黑球，是因为它每一次都使得自己将来再抓到黑球的可能性变得更大。这才是典型的路径依赖。
所以路径依赖的路径可以很长，它可以有很多变化。尽管如此，我们仍然要强调这个过程中有很大的运气因素，特别是决定性的几步往往是发生在早期。有个历史作家叫刘仲敬，现在整天鼓吹分裂中国已经走火入魔了，但是他以前写的一本书叫《经与史》，其中有一段话说的挺有意思，
“世界的命运和人的命运虽然漫长，关键性的节点却寥寥无几。四分之三的人生剧本在三十岁以前就写定了，以后的内容根本不值一看。文明和邦国的兴废都有其不可逆的节点，拥有无限可能性的青春期总是非常短促。”
他说的其实就是路径依赖。路径是偶然选择的产物，而早期的选择尤为重要，所以当你有路可选的时候才是人生最精彩的时候，这就是为什么电视剧总是写年轻人的故事，别等到自己的路径已经锁死了再感慨人生。
不过所幸的是路径通常不是一次就锁死的。波利亚罐越往后改变就越难，但并不是不允许你改变：微软公司今年已经四十五岁了，仍然在开创新路径，而今天微软的云计算业务很成功。
十三、十八般兵器和举一反三
普通人能从模型思维里学到什么呢？
- 首先你学会了一些模型。我们讲过的这十几个模型，都是比较经典、而且可以用到的。它们就好像是思维套路，寓言故事和成语典故一样。我认为正态分布、随机行走、传染和扩散，这些思想比什么“亡羊补牢”、“围魏救赵”更有用。
- 其次你学会了比传统思维套路先进的思考方式。哪怕稍微用一点点数学推演，你的思考马上就能变得生动活泼起来。稍微考虑一点点量化的边界，你就能知道应该重视什么忽略什么。
而想要取得更大的学习成就，你还需要掌握两个更高层次的思维模式，
- 一个是“一对多”
- 一个是“多对一”
所谓一对多，就是要举一反三，能把一个模型用于很多看似非常不一样的场景。所谓多对一，就是十八般兵器一起上，用多个模型分析一个问题。
0x1：幂律的运用
咱们先说一个特别简单的数学方法，看你怎么举一反三。普通人观察世界，比如到国外旅游，最容易看到的是别人跟我们的不同点；而高手则要能看出那些看似非常不同的事物之间的共同点。他有千般变化，你有火眼金睛，这就叫洞见本质，这就叫类比，这就叫举一反三。
比如你看下面这三个问题，有什么共同点，
- 1、为什么装石油的货轮都是越大越好呢？
- 2、医疗保健界总是用“身体重量指数（BMI）”衡量一个人的体重是否超标，BMI 是个合理的指标吗？
- 3、为什么各大公司的 CEO 中，女性所占的比例这么少呢？
表面上看这是一个工程问题、一个医学问题和一个社会问题，但其实它们都是数学问题。你只需要一个数学知识，幂律，也即是 X^N，就能对这三个问题提出关键性的洞见。
先说货轮。我们不需要知道轮船的技术细节，你可以简单地把轮船想象成一个长方体。制造一艘轮船，造的是船的底部和四周的船帮，这个制造成本，和长方体的表面积成正比。如果货轮的尺度是 L，那么造价就正比于L^2。同样地，驱动轮船在水上走，要克服的那个水面的拖曳力，主要是跟轮船的吃水面积成正比，也是正比于 L^2。两项加起来，这也就是说，购买和使用一个货轮的成本，正比于 L^2。
而货轮的使用价值，是它能装多少东西，这个是跟货轮的体积成正比，也就是正比于 L^3。
由此我们得出，货轮的性价比 = 使用价值/成本，是正比于 L 的。尺度越大，性价比就越高，运送单位货物反而越便宜，这就是为什么货轮越大越好。现在一个国际货轮的长度可以有四五百米……如果不是因为巴拿马运河过于窄小，通行受到限制，货轮还可以再大一点。
你看，我们对造船知识一无所知，但只要你知道什么是面积、什么是体积，你就能推算出来货轮应该越大越好这个战略着眼点。当然也许具体实施的时候会有一些技术困难，但是你这个洞见，是不可能被忽略的。
第二个问题，为什么 BMI 不是一个合理的指标。一般说法是如果你的 BMI 大于25，你就超重了，可是有研究发现，那些用 BMI 判断为稍微超重的人，寿命反而更长。那难道说我们应该把 BMI 的合格线从 25 提高到比如说 28 吗？不是的。
BMI = 体重 / 身高的平方。我们用 H 表示身高，按比例来说，人的体积应该跟 H^3 成正比。再假设身体的密度是 M，那么体重就应该是跟 H³M 成正比，所以 BMI 就是 H³M/H²，跟 HM 成正比。
这也就是说，哪怕全都是身材特别标准、特别正常的人，也是身高越高、身体密度越高，他的 BMI 就越高，BMI 高估了高个子的肥胖程度。而且因为肌肉的密度要高于脂肪的密度，如果一个人经常健身，体脂率比较低肌肉比较发达，他的 BMI 也会上去。这不是调整合格线的问题，现有的 25 这个合格线可能很适合普通身高、普通体脂率的人，但是不适合那些特别高或者特别矮，以及体脂率特别低的人。事实上有人统计过 NBA 球星，每个人的 BMI 都是超标的，难道说这些人还不够健康吗？
然后我们再看看为什么女 CEO 这么少。财富500强的公司里，只有不到5%的 CEO 是女性；而美国大学的校长，却有25%是女性。这个对比说明什么呢？是不是商业界对女性领导的歧视已经到了令人发指的程度呢？是不是商业界比学术界更歧视女性呢？是不是女性更适合在学术界发展呢？也许根本不是。
每个人初入职场的时候都是最普通的员工，而要从一个普通员工成长为 CEO，你必须经过很多次的提拔。今年升一级明年升一级，提拔几次才当上了组长；再过几年是经理，再往上是主任……再过上若干年才可能成为 VP，就这样距离 CEO 仍然很远。我们假设一个人要从基层奋斗到 CEO，必须在30年之内经历15次提拔，咱们看看这是一个什么游戏。
男性对工作的投入度，可能会稍微比女性高那么一点点。这绝不是说歧视女性，不是女性能力不行，而是女性的人生追求更全面，比较注重工作和生活的平衡。那么我们假设，面对每一次提拔的机会，男性被提拔成功的概率 p=50%，而女性是 p=40%。如果一个公司在男女员工人数一样多的情况下，每提拔 5 个男性就会同时提拔 4 个女性，这应该不算太过分吧？
在这个简单模型中，一个人经历 15 次成功提拔成为 CEO 的概率，是 p^15。而你这么一算，虽然 50% 只是 40% 的 1.25 倍，15 次方之后，男性变成 CEO 的概率就是女性的 28 倍！
所以女性 CEO 那么少的最重要原因并不是因为男性受到太多的优待，而是因为层级太多！可能一个人的运气只比另一个人好一点点，经过很多层级之后，两人的差距就会很大。
那为什么女性当大学校长比较容易呢？因为层级少。从教授到校长只有三步：系主任、院长、校长。如果你取胜的概率比对手低，哪怕只低一点点，你也不希望比赛进行很多轮。
在这几个问题中我们没有使用什么精确的数学，我们仅仅用了 X^N 这一个算式，就推导出来这些道理。而没有这个算式，你就只能感慨人生。
0x2：一个事件多个模型
一个模型能解释多个事件，而生活中有些事件，需要调用多个模型才能得到很好的解释，做出正确判断。我们前面讲过，所谓智慧，就是你知道该使用哪个模型，而这一切的前提是你得多知道几个模型才行。
2018年10月，冰岛克朗突然开始大幅度贬值，这就给当时甲骨文公司的财务官出了一个难题。甲骨文公司在海外有数十亿美元的资产，他必须考虑冰岛克朗贬值的金融风险。他考虑了两个模型。
- 一个是金融网络的传染模型。国际金融网络的联系很紧密，克朗贬值会不会让其他货币也跟着一起相对于美元贬值呢？公司是不是应该赶紧把海外资产换成美元呢？
- 财务官考虑的另一个模型是经济学中的供给和需求。这个简单模型说如果想要让市场上的价格发生剧烈变动，供给或者需求必须得有显著变化才行。冰岛，是一个只有30万人口的小国，GDP 才120亿美元，连麦当劳半年的营业额都不到。考虑到这一点，冰岛货币贬值能对全球金融有大影响呢？
财务官决定不采取行动，结果他赌对了。所以有些听风就是雨的人缺少的不是定力，而是知识和判断力。你只知道这个因素有影响还不行，你还得知道别的因素有什么影响，你还得能正确评估每个因素影响的大小，才行。
特别是要做预测的时候，我们往往需要用不同视角下的多个模型分别做预测，然后对它们的预测结果取一个平均值。佩奇在《多样性红利》这本书中专门说过这个道理，多样性能减少预测的标准差，这可是佩奇的招牌工作。
模型都只是对真实世界的某种假设和简化，在本质上每个模型都是错的。
就拿2008年金融危机来说，我那以后读的每一本稍微沾点边的书都要分析一下这场危机是怎么发生的，他们的说法各不相同，那到底哪个对呢？有个经济学家考察了21个解释这次金融危机的模型，他的结论是其中没有一个完全符合当时的真实情况：每一个模型都有漏洞。也许你只有等到将来，从多个角度综合理解这场危机，也许世界上有些事儿就是实在过于复杂，以至于根本就不可能让人理解。
总结来说，
- 当你预测一件事的时候，你希望模型越复杂越好
- 当你要解释一件事的时候，你希望模型越简单越好
你需要用很多模型一起去解释和预测一个复杂的事情，你还需要用一个模型解释很多很不一样的事情。
你既需要掌握很多知识，又需要灵活运用这些知识的能力，你得会十八般兵器还得会举一反三……要不怎么有用的学问难做、真知灼见难得呢。
十四、止痛药的棘手问题
你恐怕很难想象世界最大的两个国家会因为止痛药争吵。中美两国一直争端不断，各种常规项目之外，有一个热门话题是关于一种止痛药，叫芬太尼。
美国说因为中国控制不严，导致美国进口了太多的芬太尼，加剧了美国人的药物滥用。这个逻辑有点不寻常，所以中国要求美国好好反思自己，说“为什么中国能厉行禁毒政策，切实做到对毒品问题‘零容忍’，而美国不行？为什么中国对芬太尼类物质的管制措施能够做到比美国更严格有效？这才是值得思考的问题。”
这个问题，其实美国人真的很想知道答案。而且也真思考了。斯科特·佩奇在《模型思考者》这本书里专门用了一章的篇幅讨论美国的止痛药滥用现象，还使用了四个模型来研究。这是模型思维一次很好的实战应用，咱们来看看如何分析一个棘手问题。
芬太尼，是一种“阿片类”的止痛药。而这个“阿片（opioid）”的“阿”，按英文而论，就是“鸦片（opium）”的“鸦”，说白了，就是阿片类止痛药会让人上瘾。现在美国每年有超过一千万人正在滥用阿片类止痛药，其中超过两百万人出现止痛药使用失调的症状，包括三万人因此而死亡。
而美国医生，每年开出的阿片类止痛药处方，竟然超过 2 亿张。美国简直就是个止痛药之国。
那么你马上就会想到四个问题，
- 像这样的药怎么就能被批准使用呢？
- 它是怎么失控的呢？
- 它如何产生的致命效应？
- 非正常渠道的药是如何流传的？
为此我们需要四个数学模型。
0x1：随机实验
美国食品药物监管局（FDA）要批准一个新药上市，必须经过严格的临床随机实验。我们的第一个模型就是随机实验模型。
随机实验是非常普遍的操作，也许你已经很熟悉了。实验人员招募一些真实的病人，他们可能刚刚做过髋关节置换术、牙齿手术或者正在经历癌症治疗，他们需要止痛药。病人被随机分成两组，一组作为实验组使用某种待批准的阿片类药物，一种作为安慰剂组使用寻常的止痛药，在病人本人不知情的情况下，看看新药有什么不一样的效果。
结果阿片类止痛药表现很好。实验组的病人明显地感觉更好。实验人员也考虑了药物上瘾的可能性，但是实验中只有不到 1%的病人有上瘾反应。于是 FDA 就批准了。
这个操作好像没什么毛病。如果 1%的人上瘾是 99%的人减轻痛苦的代价，这个代价也许是值得的。但是实验人员和 FDA 可能都没有考虑的事儿是，实验中使用止痛药都是短期的，而医生在临床治疗中，可能会开出长期使用止痛药的处方。
长期使用阿片类止痛药，上瘾的可能性就会从 1%，提高到 2.5%。这是一个重大变化，为了理解这一点，我们使用马尔可夫模型。
0x2：马尔可夫过程
我们设想所有的病人可以分为马尔可夫过程中的三种状态，分别是正常使用阿片类止痛药的“服药者”、纯粹因为上瘾而使用的“上瘾者”，和不疼痛也不使用止痛药的“无痛者”。
FDA 当初设想的局面，差不多是像下面这张图里说的这样，
服药者有 1%的可能性变成上瘾者。而上瘾者既然已经上瘾了，要戒除就有困难，我们假设他们只有 10% 的可能性变成无痛者。无痛者也有得病需要服药的可能性，我们假设无痛者变成服药者的可能性是 20%，同时假设有 70%的服药者会在下一个周期被治好，变成无痛者。
如果你认为这些假设合理，那么根据马尔可夫过程的性质，我们可以计算得出，这三种人的占比将会趋于稳定状态，分别是无痛者占 76%，服药者占 22%，上瘾者占 2%。
只有 2%的人上瘾，如果是这样的局面，那还是比较可控的。但是真实世界中因为医生会开出长期的处方，服药者变成上瘾者的可能性达到了 2.5%。再考虑到因为药物泛滥，上瘾者要戒瘾也困难了，只有 5%会变成无痛者。那么真实的局面就是下面这样，
对这个更真实的马尔可夫过程的计算表明，虽然我们只改了两个数字，上瘾者所占的比例，却一下子从 2%变成了 10%。
在人群中占比 2%，那叫小众；10%，那就成了泛滥了。
那吃个止痛药上瘾也就上瘾了，为啥还会致命呢？这就需要使用第三个模型：系统。
0x3：系统
我们以前讲系统思维的时候说过，一个系统最基本的概念包括“库存”、“输入”和“输出”。在前面的马尔可夫模型中我们把服药者、上瘾者和无痛者描写成三种状态，现在我们重新把它们视为系统的几种库存，而人流在库存之间流动，像下面这张图这样，
图中第一个库存是“疼痛人群”，他们中的一部分，进入了“服药者”库存。图中的箭头表示流动，两个相对的三角形表示“按照某种比例”。服药者中有一部分流入了“无痛者”库存，有些则成为了“上瘾者”。
这样的描述只适合定性分析，没有办法想马尔可夫模型那样做定量计算，但就是这么简单的系统思维，也能帮助我们理清思路。
上瘾者之中，有些并不是来自正常因为疼痛而服药的人，他们可能从医院以外的渠道弄到了药，这就是图中上方那个多出来的箭头。
而更重要的则是图中最下方那个库存。上瘾者之中的一部分人，可能是因为想要寻求更高的刺激，也可能是因为拿不到阿片类止痛药，选择了使用海洛因。
而海洛因是真正的毒品，他们中的某些人将为此付出生命的代价。
这个系统中可能在存在一些正反馈的机制，比如上瘾者增多之后，会刺激市场通过非正常渠道提供药物。系统思维给这些机制提供了一个分析框架。
那么这些非正常渠道的止痛药，是如何在人群中流传的呢？为此我们需要第四个模型，社交网络。
0x4：社交网络
美国对治理药物泛滥没有什么特别强有力的手段，但是数据收集和相关的研究搞得很好。有研究发现，人均阿片类止痛药泛滥最厉害的地区，是在乡村的比较多，而不是在城市里。那这是为啥呢？
一个思路是我们可以使用统计模型，“大数定律”说样本量越大数据就越正常，而样本量越小数据就越容易出极端，但是纯统计性的方差没有那么大：乡村的阿片类泛滥不是偶然现象。
那么就有人提出了社交网络模型的解释。非法药物的传播只能在地下进行，而阿片类又不像真正的毒品那样贩卖有危险，所以很可能主要在亲戚朋友、邻居之间传播。可能一个人找医生多开点药，就能顺便卖给自己的熟人。城市是个陌生人社会，人与人之间的关系不容易亲热到能互相流通止痛药的程度，那么也许彼此知根知底、充满温情的乡村社会更容易流行。
经过这四个模型的分析，我们能看出来药物泛滥的确是一个很严重但是又不好解决的问题。
请问这里面谁是坏人呢？
- 是轻易批准了阿片类止痛药的 FDA 吗？
- 是给病人开出长期处方的医生吗？
- 是不知节制导致自己上瘾的患者吗？
- 是在非法渠道向亲友传播这些药的人吗？
我认为他们都有责任，但是也都有自己这么做的理由。止痛药本身并不是毒品，它真的能减轻病人的痛苦。所有人都觉得自己这么做都是为了减轻痛苦，至少”主要是“为了减轻痛苦。关键在于，整个这些环节中的每一步，单独看来，都不会显著地增加上瘾者的人数。
是所有这些环节综合起来，才导致了今天美国有这么多的上瘾者和滥用者。
所以要怪也许只能怪美国社会这个大系统。
我们还可以再加入别的思维模型。比如美国医生为什么不像中国医生那样严格控制止痛药，甚至还动不动就开出长期的处方呢？这可能是因为美国的社会规范就是病人到了医院就有“不疼的权利”。病人说你们现代医学这么发达，怎么还让我整天生活在疼痛之中呢？难道美国不是个发达国家吗？这种习俗跟咱们中国可能非常不一样。
那你说既然系统才是坏人，这个问题应该怎么解决呢？美国政府非常鼓励学者调查问题和分析问题，但是本身执行力不行，做事碍手碍脚，没有什么雷霆手段。政府不太可能强令医生不得多开止痛药，也不太容易开展一场“打击药物滥用专项斗争”……那么拿中国当替罪羊，就是最方便的行动。
而我们从这些模型分析能够看出来，指责中国完全解决不了问题：美国人民本来就非常正当地需要芬太尼，而且需要很多，就算中国从此不供货了，也会有别的供货渠道。
真实世界里但凡是棘手的事儿，都是由多种原因共同导致的，这里面没有简单的答案。如果一切都是因为一个坏人导致的，控制这个坏人就能解决，那就不是棘手问题了。你必须使用多个模型才能大致上理解一个复杂系统。
十五、怎样使用智囊团
这一章咱们来一场实战演练。
我们要使用一个真实世界里的问题，而且还是一个特别受关注的问题：这个世界上人与人的贫富差距为什么正在加大。我们要讨论的也都是真实的学者们正在使用的模型。
我们考虑一个虚拟的场景。某天下午，在北京某个私密的四合院里，一位领导，正在听取智囊团的意见。与会者包括一位保守派经济学家、一位自由派经济学家、一位社交网络专家、一位政治学家和两位社会学家。
- 领导的年龄已经不小了，但是精力十足，很有亲和力。他的开场白是这么说的：
“最近咱们跟美国打贸易战，有些人认为美国现在之所以急了，一个重要原因就是它国内的贫富差距越来越严重，组织上让我了解一下这方面的情况。我呢，你们也知道，是个讲实干的人，不太关心理论分析，我就认准一条：当官就得给大多数老百姓谋福利！美国贫富差距到底是怎么回事儿，对咱们中国有没有借鉴意义，你们都是专家，今天可以畅所欲言。不用讲空话套话，就说实在的！我读书少，你们可别骗我。”
- 自由派经济学家老吴是个老资格的智囊成员，他首先发言：
“贫富差距加大确实是美国现今最严重的一个问题，而且具有普遍意义，可以说在全世界各个国家都在发生。特别是最近几十年，差距正在越拉越大。比如说，占美国人口总数 0.1%的富人，他们的收入水平，在上世纪八十年的时候占到全国总量的不到 4%，而现在则已经达到了 10%！”
- 政治学家小周是一位青年女性，她马上补充说：
“是的是的。拿财富 500 强 CEO 们的工资来说，1966 年一个 CEO 的总薪酬水平大约相当于普通员工的 25 倍，而今天则是 300 倍。”
- 领导听了马上说：
“这也太高了。不说美国人讲平等吗？这么不公平也能忍？”
- 保守派经济学家老张跟老吴关系不太好，两人经常对着干。老张说：
“领导，咱们不能光看到贫富差距拉大了，也要看普通人的绝对收入水平提高了没有。只要穷人的日子比过去好，他们就不会抱怨。事实上过去这几十年间，世界上的贫困人口总量大大减少了。”
- 老吴马上说：
“世界贫困人口减少那是咱们中国的成绩，跟美国人有啥关系？”
- 老张说：
“我的意思是说，不能只看分蛋糕公平不公平，关键还是要把蛋糕做大。美国 CEO 的收入高是因为他们做出的贡献也大，现代富人的高收入可不是巧取豪夺来的。”
- 小周的立场看来跟老吴差不多，她说：
“怎么不是巧取豪夺了？CEO 的高工资是怎么来的？是薪酬委员会决定的。我们政治学有个模型叫‘中间选民定理’……”
- 领导马上打断说：
“小周你别整这些学术名词，说白话。”
- 小周接着说：
“……说白了就是你得看这个决策是什么人做出来的。美国公司的薪酬委员会成员都是公司高层，很多都是以前和未来的 CEO，他们当然希望 CEO 的工资高，这样自己就能理直气壮地也拿高工资。别的国家，比如说德国，普通工人也能进入公司的董事会，董事会的决定就不会特别倾向于CEO，德国CEO的工资只有普通工人的 20 倍，而日本才只有 10 倍。现在美国就是不平等！”
- 领导说：
“小周你说的挺明白。你们也要像小周这样，别光下结论，要用模型说话！我喜欢模型。”
- 这时候社会学家老赵发言了：
“小周说的这个现象，本质上就是富人和富人联手。我们社会学上有个模型，也能解释贫富差距加大，也是说富人跟富人联手，不过不是涨工资，是结婚。”
- 领导说：
“结婚？是不是富人专门跟富人结婚，强强联合？”
- 老赵说：
“没错！我们有证据显示，现在随着女性受教育水平的提高，越是高学历高收入的人，越会跟高学历高收入的人结婚。如果人们随机选择伴侣，美国的基尼系数会比现在低 25%。”
- 另一个社会学家，小王，说道：
“其实这就是财富的家庭聚集效应，婚姻只是横向的，还有纵向的。比如说，富裕的家长，因为能给孩子提供更好的教育环境，他们的孩子也有大概率生活富裕；而贫困家庭的孩子，就很不容易自我奋斗变成富人。”
- 领导说：
“这个我听说过，好像叫‘了不起的盖茨比效应’？你这个研究用的什么模型？”
- 小王说：
“就是马尔可夫模型。我们可以大致估算收入的代际流动性。比如说，高收入父母的孩子有 60%的可能性也会是高收入，而只有 5%的可能性进入低收入阶层。再加上富人生活的社区、从小上学的学校里也多是富人，优势就更大了。”
- 领导点点头，说：
“要这么说的话，富人天生就比穷人更有办法增加财富，贫富差距加大简直就是最自然的现象。”
- 自由派经济学家老吴说：
“领导你这句话算是说对了。其实我们在经济学上还发现一个更深刻的机制，相比之下，结婚和上学都是次要的，那就是资本。富人能用钱生钱，这才是他们的财富增长之道。”
- 领导说：
“资本？你是说《资本论》吗？”
- 老吴说：
“不是，是法国经济学家托马斯·皮凯蒂的《21世纪资本论》。皮凯蒂的根本逻辑是，资本增加的速度（r），总是超过经济增长的速度（g）。”
- 领导说：
“这听着好像有点怪。咱们就考虑最简单的情况，工厂里有工人和资本家。如果经济增长 10%，难道不应该是工人工资和资本家的分红都增加 10%吗？”
- 老吴说：
“理想情况下，资本家的分红增长的速度的确跟工人工资增长的速度一样。但我们不能只看增量。比如说就算今年经济不增长，工厂利润和工人收入和去年一样，资本家也要分红。工人工资低，可能会把所有收入都花光。而资本家的分红多，就算花掉一部分还会剩下一些，所以资本家的总财富也会增加。”
- 领导说：
“你说的其实就是资本家自己攒钱，比社会的经济增长容易。”
- 老吴说：
“可以这么说吧，这就是著名的 r > g。那我们想想，资本家攒钱能力这么强，是不是资本家的钱越来越多，贫富差距越来越大。”
- 领导说：
“那你要这么说的话，这个规律应该在历朝历代都是如此啊，为什么美国上世纪五六十年代的时候就比较平等，最近这几十年贫富差距才加大呢？”
- 这时候一直没说话的社交网络专家发言了：
“我觉得其中一个原因就是网络的聚集效应。根据网络模型，越是著名的品牌和明星，就越容易占有更大的市场份额，收入也就越高。而现代人的通讯交流手段比过去强了很多，著名品牌和明星越来越容易开拓自己的市场，这个局面就变得更加是胜者通吃了。”
- 老吴说：
“网络的正反馈效应的确有，但我还是认为资本是首要的因素。美国五六十年代的平等，其实是不正常的，是刚刚结束不久的战争，把人们的收入给拉平了。只要是和平年代，收入分配的趋势就是越来越两极分化。”
- 领导深吸一口冷气，陷入了沉思……可是保守派经济学家老张再也坐不住了，他说：
“老吴你这么说有点不顾事实了吧？二战 1945 年就结束了，美国收入分配一直到 1970 年代都很平等，诞生了数量巨大的中产阶级家庭，这你怎么解释？再者说了，你看看现在美国收入最高的那些人，其中绝大多数都是像比尔·盖茨、杰夫·贝佐斯、马克·扎克伯格他们这样白手起家、靠科技创新获得的财富，哪里是靠资本呢？”
- 社交网络专家赶紧说：
“所以还是网络效应嘛，1970 年代以后才有的互联网技术，这些新贵都是搞 IT 的。”
- 领导说：
“老张你别激动，你也说说你的道理。你怎么解释美国的贫富差距先是减小，后来又加大呢？你用什么模型？”
- 老张说：
“我的模型主要考虑教育。我们可以简单地把工人分成受过高等教育的高素质工人，和没受过高等教育的低素质工人。1950 年代那个时候，美国制造业很发达，对低素质工人有很大需求，所以他们都能过上好日子，收入差距就缩小了。”
- 领导说：
“那为什么这个好日子没有持续下去呢？”
- 老张说：
“因为技术进步和全球化。到 1970 年代以后，美国实现产业升级，改为需要高素质工人。而高素质工人毕竟只是少数，所以贫富差距就拉大了。”
- 领导说：
“那美国为什么不多培养一些高素质工人呢？我听说现在美国的程序员很多都是从中国和印度过去的，为什么不用自己人呢？”
- 老张说：
“这可能是因为美国的大学教育太贵了。50 年代的时候因为政府对退伍老兵上大学有补助，短期内制造了很多大学生，可是现在这个政策没有那么大的作用。与此同时又有很多来自墨西哥的低素质移民进入美国……而且高科技行业其实也用不了那么多工人，所以现在美国的贫富差距才会这么大。”
- 领导说：
“老吴和老张，你们两个的说法我感觉有点矛盾，你们都有数据支持吗？还有，该如何减小贫富差距呢？”
- 老吴说：
“有啊。事实上皮凯蒂的理论与其说是一个模型，不如说是一个观察。他考察了历史上各国经济的演变，r > g 是个普遍规律。历史证明只有战乱能减小贫富差距，不过让我建议的话，应该对富人征收更多的资本所得税。”
- 老张说：
“可是你仔细考察美国这一百年的经济数据，现在公认是我这个模型更符合事实！决定现代贫富差距的根本力量是技术进步和教育！”
- 专家们就这样讨论了很久，领导等到大家都说的差不多了，最后总结说，
你们说的我都听明白了。咱们没必要争论谁对谁错，因为以我之见，你们说的不是同一个层面的东西。
- CEO 权力模型和网络效应模型说的是那些特别高收入阶层的情况，对绝大多数人意义不大。
- 婚姻和家族传承模型对普通人的意义更大一些，但是那个效应不一定很强，再说代际传承有可能还会回归均值。
- 皮凯蒂的理论可能具有普遍的意义，但是资本的力量，在当今时代，也许没有那么强。
- 老张说的那个高素质低素质工人模型可能最符合美国的实际情况，但是有点太过具体了，通用性可能不是很好。
众人一听无不叹服，心想领导不是搞学问的人，可是脑子倒是挺清楚啊，见多识广，问问题都问到了点子上，自己有判断力，而且还会多对一的高级思维，要不怎么这么多专家非得是他当了领导呢……
