线性版本HierHolzer正确性说明

晚上在研究怎么求欧拉图回路，看到 $O (n + m)$ 版本的 HierHolzer 算法实现，让我很迷惑。

void dfs(int x){
	for(int i = 1;i <= 500; ++i){
		if(g[x][i]){
			--g[x][i]; --g[i][x];
			dfs(i);
		}
	}
	ans[++cnt] = x;
}

OI-Wiki 上对于这段代码的描述是这样的：

将找回路的 DFS 和 Hierholzer 算法的递归合并，边找回路边使用 Hierholzer 算法。

但代码中我并没有直观地看到“边找回路边求环”的过程，而只看到了从一个点出发，有路就往下走的朴素 dfs。所以我就产生了这样的一个问题：这样的 dfs 是否能正确地找到欧拉回路呢？

首先根据欧拉图判别法我们可以知道：欧拉图中非零度顶点是连通的，且顶点的度数都是偶数。从这个性质出发，我们在脑海中随便画出一张欧拉图，以检验算法的准确性。

接下来开始证明（由于我不会做动画，所以只能尽我所能直观地描述了）：

我们将这张图上度数为偶数的节点染为白色，将度数为奇数的节点染为黑色，每经过一条边就将其删去并更新颜色。显然，最开始欧拉图上都是白色的节点。

任意选取一个点开始我们的朴素 dfs。当我们走过第一条边的时候，这条边直接连接的两个顶点（起点和当前位置）都变成了黑色。当我们继续向下 dfs 的时候，每走过一条边，原先位置的黑色节点会变回白色，而当前所在的节点会变为黑色。显然，在向下 dfs 的过程中，图上要么没有黑点，要么有且仅有两个黑点。

当我们访问的某条边连接了两个黑点时，删去这条边，整张图上所有的节点又会都变为白色，此时我们就找到了（删去了）一个经过起点的环。

到这一步 dfs 并没有结束，我们也没有考虑清楚如何记录答案，但 HierHolzer 已经初具雏形了。如果称上述过程（从起点向下 dfs 又到了起点）为一次操作，我们可以发现这次操作具有如下的性质：

在一张全是白点的图上，从任意一个度数非 $0$ 的节点（度数当然是偶数）出发，必然能找到（删去）经过这个点的一个环。（注意欧拉图上偶度节点与“必然”能找到环的联系）

继续 dfs，此时我们正第二次位于起点的位置。回顾一下我们所制定的 dfs 规则：如果有路，就一直往下走。

按照这个规则，如果此时起点的度数大于 $0$ ，那么就继续往下走。换句话说，也就是重复一次上述的操作。可想而知，每一个经过起点的环都能用上述的方法找到。每经过这样的一个过程，就会删去一个经过起点的环，起点的度数就会减 $2$ ，直到它变为 $0$ 。

如果此时起点的度数为 $0$ ，那么按照 dfs 的规则，我们就可以开始回溯了。注意此时回溯的顺序，如果我们是按照 $1 \to 2 \to 3 \to 1$ 的顺序访问，那么我们应该按照 $1 \to 3 \to 2 \to 1$ 的顺序回溯。每回溯到一个节点，这个节点的度数都必然是偶数，那么我们就可以重复一次操作，删去一个经过它的环。直到最后回溯到起点，我们就删去了图上所有的环。