Acwing-246. 区间最大公约数

本蒟蒻的第二篇题解qwq.

题目大意:

给定一个长度为 $N$ 的数组，需要在数组上进行两种操作:

1.C l r d,表示把 $A[l],A[l+1],...,A[r]$ 都加上 $d$.

2.Q l r,表示询问 $A[l],A[l+1],...,A[r]$ 的最大公约数 $(GCD)$.

《普通的解法》：

如果你是一个只会打暴力的小蒟蒻(就像我),看到题目后，是不是就只能无奈的打开 IDE，
打起暴力代码了吗？拜托，那可是暴力啊，数据这么大，你怎么能这么暴力地对待他呢？

有一天，一名蒟蒻打开了这道题：

蒟蒻:这不就是求最大公约数吗，还不简简单单！

然而他完全没有注意到数据范围...

半小时过去了...

蒟蒻:哈，本地样例过了！我也有实力切困难题了！

当提交后，发现TLE时...

蒟蒻：伟大的出题人啊，你为什么要给那么大的数据范围？

数据：那可不是，如果我不出这么大的数据范围，他还佩成为困难题吗？

蒟蒻：www...我因为这道题白白浪费了半个小时，还不去写水题好...

所以上面这段对话告诉我们不要轻视数据范围qwq

标准解法+证明过程:

在点进这道题之前，先问一句话，知道什么是欧几里德算法吗？

什么，你不知道？那还不快去 这篇网站 补一下.

那么现在，你需要知道一个特性，一个关于欧几里德算法的一个特性:

• $\mathrm{\forall }a,b\in N,a\le b⟹gcd(a,b)=gcd(a,b-a)$

什么，你说你不相信？那我们不妨来证明一下：

令 $x,y\in N,d=gcd(x,y)$, $d_1=\frac{x}{d},d_2=\frac{y}{d}$,则 $d_1\perp d_2$.

1. 假设 $x=y$,则 $gcd(x,y)=gcd(x,0)=gcd(x,y-x)$.

2. 假设 $x<y$,那么令 $d_3=\frac{x}{d},d_4=\frac{y-x}{d}$.

• $d_3=\frac{x}{d}=d_1$.

• $d_4=\frac{y-x}{d}=\frac{d_2\cdot d-d_1\cdot d}{d}=\frac{d\cdot (d_2-d_1)}{d}=(d_2-d_1)$

  令 $m=gcd(d_1,d_2-d_1),a=\frac{d_1}{m},b=\frac{d_2-d_1}{m}$.

  假设 $m>1$,那么：
  $d_1=m\cdot a,d_2-d_1=m\cdot b$
  $d_2=(a+b)\cdot m$

因为 $m>1$,所以 $d_1\perp d_2$ 为假，与前者产生矛盾.

由于 $m=1$,也就是 $d_1$ 和 $(d_2-d_1)$ 互质,所以 $gcd(x,y)=gcd(x,y-x)$ 为真.

没错，就证明完了.

而根据数学归纳法，我们又能推出下面的式子:

• $gcd(x,y,z)=gcd(x,gcd(y,z))=gcd(x,gcd(y,z-y))=gcd(x,y,z-y)=gcd(gcd(x,y),z-y)=gcd(gcd(x,y-x),z-y)=gcd(x,y-x,z-y)$.

• $gcd(a_1,a_2,...,a_n)=...=gcd(a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})$

看到这个结构是不是很熟悉？没错，这不就是差分吗！

于是这道题就很明显了，维护一个差分数组，区间修改则改为了单点修改，查询就...就什么？

额...好像还是要遍历整个区间吧...

这个时候，就得请出我们的线段树了！！

没错，以查询和修改区间为名，与这道题可谓是天造地设，只需要让 $tree$ 节点存储当前区间的 最大公约数，那区间查询 $GCD$ 不绰绰有余了？

不过，式子中的 $a_1$ 该怎么办？

这个时候，$tree$还有一个东西要存，那就是当前区间之和.还记得差分的性质吗?

• $a_n=b_0+b_1+b_2,...,+b_n$

这不就退化成了前缀和吗？

好了，废话不多说，上代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
struct node{
  ll l,r;
  ll v,d;
}tree[2000005];
char c;
ll a[500005],b[500005],n,m,u,v,w;
inline ll lu(ll u){return u << 1;}//返回左子结点编号
inline ll ru(ll u){return u << 1 | 1;}//返回右子结点编号
ll gcd(ll a,ll b){//gcd函数，采用辗转相除法
  if(b == 0) return a; 
  else return gcd(b,a % b);
}
void push_up(ll u){
  tree[u].v = tree[lu(u)].v + tree[ru(u)].v;
  tree[u].d = gcd(tree[lu(u)].d,tree[ru(u)].d);
}
void build(ll u,ll l,ll r){//建树
  tree[u].l = l,tree[u].r = r;
  if(l == r){
      tree[u].v = b[l],tree[u].d = b[l];
      return;
  }else{
      ll mid = (l + r) >> 1;
      build(lu(u),l,mid);
      build(ru(u),mid + 1,r);
      push_up(u);
  }
}
void update(ll u,ll f,ll w){
  if(tree[u].l == f && tree[u].r == f){
      tree[u].d += w,tree[u].v += w;return;
  }else{
      ll mid = (tree[u].l + tree[u].r) >> 1;
      if(f <= mid) update(lu(u),f,w);
      if(f > mid) update(ru(u),f,w);
      push_up(u);
      return;
  }
}
ll query(ll u,ll ml,ll mr){ 
  if(tree[u].l >= ml && mr >= tree[u].r) return abs(tree[u].d);
  ll mid = (tree[u].l + tree[u].r) >> 1,res = 0;
  if(ml <= mid) res = gcd(res,query(lu(u),ml,mr));
  if(mr > mid) res = gcd(res,query(ru(u),ml,mr));
  return res;
}
ll query2(ll u,ll ml,ll mr){ // 求前缀和
  if(tree[u].l >= ml && tree[u].r <= mr) return tree[u].v;
  ll mid = (tree[u].l + tree[u].r) >> 1,res = 0;
  if(ml <= mid) res += query2(lu(u),ml,mr);
  if(mr > mid) res += query2(ru(u),ml,mr);
  return res;
}
int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);//加快读入速度
  cin >> n >> m;
  for(ll i = 1;i <= n;i++){
      cin >> a[i];
      b[i] = a[i] - a[i - 1];//b为差分数组
  }
  build(1,1,n);
  while(m--){
      cin >> c;
      if(c == 'C'){
          cin >> u >> v >> w;
          update(1,u,w);
          if(v + 1 <= n) update(1,v + 1,w * -1);//防止单点修改时越界
      }else{
          cin >> u >> v;
          if(u == v){
              cout<<query2(1,1,u)<<'\n';//当区间只有一个元素时，答案为al
          }else{
              ll tmp = abs(query2(1,1,u));
              cout<<gcd(tmp,query(1,u + 1,v))<<'\n';
          }
      }
  }
  return 0;
}

这次写的有些急，有问题还请多多指出，谢谢！qwq