Multigrid

好早之前写的了，现在备份一下吧
2021.12.06

GMG Description#

对于线性方程组：

A u = b

$Au = b \\$

利用迭代方法求解：

x_{n e w} = R x_{o l d} + f

$x_{new} = Rx_{old} + f \\$

但由于光滑误差 $e_s$ 衰减缓慢，需要较多的迭代次数来达到合适的精度。对于解析解，

x_{a} = R x_{a} + f

$x_a = R x_a +f$

两式相减便得到

e_{n e w} = R e_{o l d}

$e_{new} = R e_{old}$

并且 $e_{old}$ 由光滑误差 $e_{s}$ 和震荡误差 $e_o$ 组成。注意，这里光滑和震荡均为几何概念，而在AMG中，光滑误差在几何上有可能是震荡的。光滑误差在网格上光滑分布，使用较少的网格点也可以保留光滑误差的大部分特征，相对地光滑误差在粗网格上的震荡性得到放大。因此在细网格上难以衰减的光滑误差可以转化到粗网格上加速衰减，提高了迭代收敛的速度。

当然解析解通常是未知的，因此光滑误差只能通过残差表示：

A e = b - A x_{i} = r e = u - x_{i}

$A e = b - Ax_i = r \\ e = u - x_i$

当然，这里 $e$ 并不代表光滑误差，但主要由光滑误差组成。通过限制算子 $I_{h}^{2h}$ ，将残差转化到粗网格上：

r_{2 h} = I_{h}^{2 h} r_{h}

$r_{2h} = I_{h}^{2h} r_h$

然后求解

A_{2 h} e_{2 h} = r_{2 h}

$A_{2h}e_{2h} = r_{2h}$

再通过插值算子 $I_{2h}^{h}$ ，将误差转化到细网格上

e_{h} = I_{2 h}^{h} e_{2 h}

$e_h = I_{2h}^{h} e_{2h}$

于是得到

x_{i} + e_{h} = x_{i + 1} \approx u

$x_i + e_h = x_{i+1} \approx u$

也即

x_{i + 1} = x_{i} + I_{2 h}^{h} A_{2 h}^{- 1} I_{h}^{2 h} (b - A_{h} x_{i})

$x_{i+1} = x_i + I_{2h}^{h} A_{2h}^{-1} I_{h}^{2h} (b - A_hx_i)$

通过以上观察可知，GMG运行的关键在于传播算子 $I_{h}^{2h}$ 和 $I_{2h}^{h}$ 的选取，以及粗网格矩阵 $A_{2h}$ 的形成。

Smoothed Aggregation AMG#

摘自 - Algebraic Multigrid by Smooth Aggregation for Second and Fourth Order Elliptic Problems

多重网格的主要目的：在逐点迭代求解器中，补充不同层级网格的局部信息交换

伽辽金方法是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金发明的一种数值分析方法。应用这种方法可以将求解微分方程问题简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维的线性方程组又可以通过线性代数方法简化，从而达到求解微分方程的目的。

最后更新于 2025年1月13日 --- 最初发表于 2025年1月13日
原创作者：LitBro
关于作者：资料归档备份是个大学问
本文链接: [https://www.cnblogs.com/LitBro/p/18668607]
版权声明：本文采用 BY-NC-SA协议，转载或引用请注明出处!
关于后续：碍于学业不精，如有描述不当，还请见谅并非常感谢指出