梁-板力学模型

梁和板在几何上表现为一个方向上的尺寸远小于其他维度，若直接使用弹性力学理论，进行三维实体的数值分析，会由于一个方向上的单元尺寸与另一方向上相差过大导致数值奇异（单元不同方向上刚度系数相差过大）。或者保 持单元各方向上尺寸相近，但将导致整体计算规模过大。因此需要考虑梁和板的简化模型。

2022-10-1 昨天重新对约束变分有限元学习了一下，今天小幅更新，国庆快乐！

梁和板#

在理论力学中，物体受力后本身的变形根本不考虑，属于刚体假设。材料力学中，会介绍应力应变和Hookean定理，以及梁杆的拉压弯剪扭变形分析。记得第一章讲材料力学的基本假设：连续性；均匀性；各向同性；小变形。后边章节就很少提及它们了，以至于我丝毫没有意识到这些假设的重要性。随后就是杆件受拉下的伸长率，在简化的一维情况下定义了应力应变。在圆杆扭转和梁弯曲的分析中，补充了一个重要假设：平面假设，变形前与轴线垂直的横截面，在变形后仍为平面（考虑横向剪切，Timoshenko梁）且与轴线垂直（不考虑横向剪切，Bernouli-Euler梁）。欧拉梁的假设简化了梁的变形问题，求欧拉梁的挠曲线也就成了材料力学中的常见例题。而铁莫辛柯梁考虑了横向剪切，计算更加复杂，在材料力学课程中很少提及。但铁莫辛柯梁可以用来计算深梁（剪切变形不能忽略）的变形，并在理论上可以直接退化为欧拉梁，显然它的应用更为广泛。

厚板模型#

为了理论介绍方便，我们首先建立一维无限延伸（定义为 $y$ 方向）厚板的圆柱形弯曲的力学模型，后续薄板模型和梁模型可以通过添加约束假设得到。假设载荷和边界条件与$y$无关，定义单位宽度上$x$方向上的合应力（stress resultants）：力矩 $M_x$、轴力 $P_x$、横向（transverse）剪力 $Q_x$。假设垂直于中面的横截面在变形后仍为平面，$z$ 方向上的直接应力（direct stress）很小（理解：$q_z$ 主要与切应力相关，几乎不产生正应力），因此忽略$z$方向上的直接应变。

基于上述的两个假设（Reissner-Mindlin 假设），板的变形可由中面（$z=0$）的$x$方向上的位移 $u$，$z$ 方向上的位移 $w$ 以及转角 $\phi_x$ 表示。于是板截面上一点的位移可以表示为：

$$u_x(x,z) = u(x) + z\phi(x) \\ u_z(x,z) = w(x)$$

对应的应变为：

$$\label{strain-displacement} \tag{1} \epsilon_x = \frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + z\frac{\partial \phi_x}{\partial x} \\ \epsilon_y = \epsilon_z = 0 \\ \gamma_{xz}= \frac{\partial u_x}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial x} + \phi_x \\ \gamma_{xy}= \gamma_{yz} = 0$$

因为 $y$ 方向上无限延伸，$y$ 方向的应变为0可以由对称性得到，而$z$方向的挠度仅与 $x$ 坐标相关，显然 $\epsilon_z = 0$，但是 $\sigma_z \neq 0$。又根据板层的平面应力状态（不太理解？）推导出应力应变关系：

$$\sigma_x = \frac{E}{1-v^2}\epsilon_x \quad \text{and} \quad \tau_{xz} = G \gamma_{xz}$$

合应力表示为：

$$P_x = \int_{-h/2}^{h/2}\sigma_x \ \text{d}z = B \frac{\partial u}{\partial x} \\ Q_x = \int_{-h/2}^{h/2}\tau_{xz} \ \text{d}z = \kappa Gh(\frac{\partial w}{\partial x}+\phi_x) \\ M_x = \int_{-h/2}^{h/2}z\sigma_x \ \text{d}z = D \frac{\partial \phi_x}{\partial x}$$

其中

$$B = \frac{Eh}{1-v^2} \quad \text{and} \quad D = \frac{Eh^3}{12(1-v^2)}$$

将局部平衡方程（类似于弹性力学微元体的平衡方程）沿厚度方向进行积分，得到轴向合应力的坐标导数与轴向载荷 $q_x$：

$$\frac{\partial P_x}{\partial x} + q_x = 0$$

同理剪切合应力的坐标导数与侧面载荷 $q_z$：

$$\frac{\partial Q_x}{\partial x} + q_z = 0$$

而合力矩的坐标导数与剪切应力：

$$\frac{\partial M_x}{\partial x} + Q_x = 0$$

薄板模型#

方程 $\eqref{strain-displacement}$ 考虑了剪切变形的影响（对于转角 $\phi_x$），建立了厚板的应变位移方程（几何方程）。而薄板理论中不考虑剪切变形，即 $\gamma_{xz}=0$，得到：

$$\frac{\partial w}{\partial x} + \phi_x = 0$$

假设也退化为：垂直于中面的横截面在变形后仍为垂直于中面的平面（Kirchhoff-Love 假设）。

Timoshenko梁模型#

采用方程 $\eqref{strain-displacement}$ 确定的应变位移关系，梁的应力应变关系简化为：

$$\label{TB_1} \tag{2} \sigma_x = E \epsilon_x \quad \text{and} \quad \tau_{xz} = G \gamma_{xz}$$

合应力表示为：

$$\label{TB_2} \tag{3} P_x = \int_{A}\sigma_x \ \text{d}A = B \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \int_{A}z \ \text{d}A \\ Q_x = \int_{A}\tau_{xz} \ \text{d}A = \kappa GA(\frac{\partial w}{\partial x}+\phi_x) \\ M_x = \int_{A}z\sigma_x \ \text{d}A = \frac{\partial u}{\partial x} \int_{A}z \ \text{d}A + D \frac{\partial \phi_x}{\partial x}$$

其中

$$B = EA \quad \text{and} \quad D = EI_y$$

$A$ 为横截面，$I_y$ 为横截面对中性轴 $y$ 的惯性矩。梁模型的几何特点：$yz$ 方向小于 $x$ 方向。应该还得加个单向受力假设，不然没法解释 $y$ 方向上的应变为 0。

Bernouli-Euler梁模型#

基于Timoshenko梁模型，但不考虑剪切变形 $\phi_x = -\frac{\partial w}{\partial x}$，同样得到如 $\eqref{TB_1}$ 和 $\eqref{TB_2}$ 确定的应力应变关系和合应力平衡关系。

有限元分析#

梁的平截面假设将梁的变形问题简化为挠曲线的计算，而平截面假设让几何方程不得不考虑截面转角（通过转角计算变形和应变），提高了挠曲线方程的连续性要求。这个连续性条件使得在使用有限元求解时，需要使用高连续性的 Hermite 单元，增加了复杂度（当然可用混合有限元避免使用高连续性单元）。使用 Hermite 插值构造 $C_1$ 连续的多项式并不复杂，因此 Hermite 单元在 [一维梁] 的有限元分析中可以直接使用。但 Hermite 插值单元并不是等参元，在 [二维平板] 问题中，构造出任意形状的 Hermite 单元就会变得非常困难。

在Timshenko梁中，由于挠度和转角相互独立，控制方程是不可约格式（控制变量最少的格式），分别对挠度与转角离散，就得到了所谓的不可约有限元格式。

在Bernouli-Euler梁中，由于转角可用挠度的一阶微分表示，控制方程是混合格式（控制变量非最少的格式），若分别对挠度与转角离散，就得到了所谓的混合有限元格式。由于变量增加，还需要添加变量间的约束条件，如：$\theta = w'$，罚函数和拉格朗日乘子法皆可。

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最后更新于 2022年10月1日 --- 最初发表于 2022年8月23日
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