齐次线性方程中，齐次和线性的含义

线性函数/映射

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线性函数/映射 $f: A \rightarrow B $ 为两个 [标量/向量] 空间 \(A,B\) 的对应关系，

在微积分，解析几何等相关领域中，线性函数（function）是一个一次或者少于一次的多项式，对于单一变量如

\[f_f(x) = lx + m, (\forall x \in R) \]

或多变量的函数，其中 \(l,m\) 为已知定常数，由于其函数图像为非垂直的直线或超平面，通常也被称作线性函数^[1]。

\(f_f\) 在线性代数中称为一个仿射映射，当 \(m=0\) 时才为线性映射

线性映射（map）的结果为标量场，则被称作线性函数，也即向量空间到标量场的映射，线性映射$f_m: A \rightarrow B $ 应该满足线性特征：

• 可加性： \(f_m(a+b)=f_m(a)+f_m(b) % This is a copyright statement edited by litbro, please ignore it.\)

• 齐次性： \(f_m(ka)=kf_m(a)\) ，\(\forall k \in R\)

由于函数也可以表示成两个空间的映射，因此这两个线性概念很容易引起混淆，一个是基于图形几何直觉，一个是基于数学空间理论。作为专业学习，我们不妨全部基于数学的角度，仅将满足线性特征的函数/映射称为 [线性函数/映射]，如 \(f_f(x)_{m=0}\)，将 \(f_f(x)_{m\neq 0}\) 称为 --仿射函数/映射--。

仿射变换

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在欧几里德几何中，仿射（affine）变换是一种保留直线和平行性(但不一定是距离和角度)的几何变换^[2]。

如图，每片叶子都通过仿射变换彼此相连。例如，通过反射、旋转、缩放和平移的组合，红叶可以转换成深蓝色叶和任何浅蓝色叶。每一个仿射变换都可以看成是 [一个线性变换] + [一个平移]，这并不保证原点仍然不变，因此每一个线性变换都是仿射变换，但是仿射变换不一定是线性变换。

线性方程

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线性方程通常由一组 [不全为0已知系数] 和 [一次或零次的未知变量] 确定，满足方程解的未知变量组成了一个解空间，如方程 $Eq_1 $ ：

\[a_1x_1 + a_2x_2 +...+ a_nx_n + b = 0 \]

确定了一个 [\(n-1\)] 维的解空间^[3]

\(Eq_1\) 在 Euclidean 空间中则确定了一个 [\(n-1\)] 维的超平面，\(n=2\) 时则对应 Euclidean 平面中的一条直线

因此 \(Eq_1\) 也被称为线性方程，在 Euclidean 空间中可以改写为如下通式：

\[a_1f_1 + a_2f_2 +...+ a_nf_n + b = 0 \quad (f_n = x_n| x_n,a_n,b \in R ) \]

根据通式，有一个以未知函数为变量的常微分方程 \(Eq_2\) ：

\[a_0f + a_1f^{'} +...+ a_nf^{n} + b = 0 \quad (f = f(x)| f(x),a_n,b \in F) \]

其中 \(F\) 为关于 \(x\) 函数的空间，关于未知量的每一项都是一次或者零次， \(Eq_2\) 被称为线性常微分方程，即使 \(a_n=a_n(x)\) 不为实常数

线性方程应该满足两个特征：

• 有两个解 X，Y，那么 X+Y 也是方程的解

• 解 X 乘任意非零常数 c，cX 还是方程的解

通常方程 2x+3y=10 也被称作线性（linear）方程，为了和上述线性特征区分开来，严格来说应该是仿射方程，它的齐次形式 2x+3y=0 才是线性方程。

齐次方程

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当 \(b=0\) 时 \(Eq_1\) 被称为齐次线性方程，而对于齐次常微分方程，课本中有两种常规形式：

• \(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})\) ，如 \(x^2y^{'} + xy = x^2\)
• \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0\) ，如 $ y^{'} + xy = 0 $

[形式一] 不一定是一个线性方程，ta还可以有非线性形式，如：\(y'-\frac{2xy}{3x^2-y^2}=0\)

[形式二] 则对应一个齐次线性常微分方程

对于形式一中的例子，两边提取出 \(x^2\) 得到 \(y^{'} + \frac{1}{x}y = 1\) ，与形式二明显冲突，这里非常不解，齐次有两个不同的表示形式，难道说齐次是两个性质？

这里应该换一种思路来考虑，这两个形式其实都是一个齐次性质的表现。

有函数 \(f(x)\) ，对于任意实常数若:

\[f(ax)=a^kf(x) \]

则称 \(f\) 为 \(k\) 阶齐次度的齐次函数。

那么，到底什么是齐次方程呢？一般是指简化后的方程中所有非零项的指数相等，如：

\[x^2+xy+y^2=0 \]

这个方程确定了一个关系式 \(y=f(x)\) ，因此：

\(f(x)\) 不一定为函数，因为可以存在 \((x,y_1)\) 和 \((x,y_2)\) 都满足这个方程，如齐次方程 \(x^2 - y^2 = 0\)

\[x^2 + xf(x) + f(x)^2 = 0 \]

代入 \(\overline x = ax\) 得到：

\[a^2x^2 + axf(\overline x) + f(\overline x)^2 = 0 \]

易知当 \(f(ax) = af(x)\) 时，上式满足。对于常微分方程 \(F(x,y,y^{'},...,y^n)=0\) ，若^[4]：

\[\overline x = a^kx, \quad \overline y = a^ly \]

其中 \(a >0\) 且不等于1，\(k,l\) 为任意固定的实常数，满足 \(F(\overline x,\overline y,\overline y^{'},...,\overline y^n)=0\) ，即 \(F\) 确定的 [表达式] \(y=f(x)\) 满足

\[f(a^kx) = a^lf(x) \]

当 \(k=0,l \neq 0\) 时，即

\[f(x) = a^lf(x) \]

这意味着一个 \(x\) 对应多个 \(y\) ，这时候 \(F\) 被称为齐次微分方程。这时候再来看上边提到的两种齐次常微分方程形式

• \(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})\) ，如 \(x^2y^{'} + xy = x^2\) ， \(\overline x = ax\) ，\(\overline y = ay\) 满足原方程
• \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0\) ，如 $ y^{'} + xy = 0 $ ， \(\overline x = x\) ，\(\overline y = ay\) 满足原方程

\(y'+y^2 = \frac{5}{2x^2}\) 也可以找到一组对应的 \(k=1,l=-1\) ，然后将 \(\overline x ,\overline y\) 代入方程依然满足，因此 ta 也是齐次微分方程，尽管 ta 不属于上面的两种形式

而方程 \(y''-\frac{2xy}{3x^2-y^2}=0\) 非齐次

从这抄的

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[1] Linear function, Wikipedia

[2] Affine Transformation, Wikipedia

[3] Linear Equation, Wikipedia

[4] Nail H. Lbragimov. A practical course in differential equations and mathematical modelling, Higher Education Press & World Scientific, China, 2010.

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最后更新于 2020年12月28日 --- 最初发表于 2020年12月27日
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