向量/坐标系旋转的矩阵表示

在Cartesian坐标系中，存在向量 \(\textbf{M}=a\textbf{i}+b\textbf{j}=(a \quad b)^{\rm T}\)，现在将坐标系按原点逆时针旋转 \(\theta\) （注意：不是将 \(\textbf{M}\) 逆时针旋转），\(\textbf{M}\) 在新坐标系内的表示如下：

\[\mathbf{M} = \begin{pmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix} \tag{1} \label{eq1} \]

可以看出

\[a'=a*cos\theta+b*sin\theta \\ b'=-a*sin\theta+b*cos\theta \tag{2} \label{eq2} \]

现在观察式 \(\eqref{eq2}\)，发现和两个向量的向量积公式一致，再加上由概念可以直接得出， \(a'\) 就是新坐标系下 \(\textbf{M}\) 在 \(\textbf{i}'\) 基向量方向上的长度， \(b'\) 就是新坐标系下 \(\textbf{M}\) 在 \(\textbf{j}'\) 基向量方向上的长度，因此新坐标系的两个基向量可以写成：

\[\textbf{i}'= (cos\theta \quad sin\theta) ^{\rm T}\\ \textbf{j}'= (-sin\theta \quad cos\theta) ^{\rm T} \tag{3} \label{eq3} \]

同样，我们发现确定 \(\textbf{M}\) 在逆时针旋转 \(\theta\) 后的坐标系下的表示，可以等价成 \(\textbf{M}\) 顺时针旋转 \(\theta\) 后在原先坐标系下的表示。因此，我们转而分析将 \(\textbf{M}\) 顺时针旋转 \(\beta\) 后 \(\textbf{M}'\) 在坐标系下的表示，假定有旋转矩阵 \(\textbf{T}\)：

\[ \mathbf{T}\mathbf{M} = \mathbf{T}\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} cos\beta & sin\beta \\ -sin\beta & cos\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \mathbf{i''} & \mathbf{j''} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \textbf{M}' \tag{4} \label{eq4} \]

很显然， \(\textbf{T}\) 将基向量旋转了来保证 \(\textbf{M}'\) 在新的基下，仍然保持一致的投影分量 \((a \quad b)^{\rm T}\) ，此时新的基可以表示为：

\[ \textbf{i}'' = (cos\beta \quad -sin\beta) ^{\rm T}\\ \textbf{j}''= (sin\beta \quad cos\beta) ^{\rm T} \tag{5} \label{eq5} \]

分析可知，式 \(\eqref{eq3}\) 和式 \(\eqref{eq5}\) 是一致的，对一组正交单位基逆时针旋转角度 \(\theta\) （如果顺时针旋转 \(\theta\)，则可以表示成逆时针旋转了 \(-\theta\)），得到的新基可以表示为：

\[\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix} \tag{6} \label{eq6} \]

参考资料

---

[1] 行列式的本质是什么？

[2] 矩阵行列式的几何意义

[3] 如何理解相似矩阵？

---

---

最后更新于 2020年11月17日 --- 最初发表于 2020年11月17日
原创作者：LitBro
关于作者：咕咕咕
本文链接: [https://www.cnblogs.com/LitBro/p/13996535.html]
版权声明：本文采用 BY-NC-SA协议，转载或引用请注明出处!
关于后续：碍于学业不精，如有描述不当，还请见谅并非常感谢指出