03 2023 档案
摘要：原题链接 题意 给定 $n$，$M$。你有 $n$ 台电脑排成一排，你需要依次开启所有电脑。 你可以手动开启一台电脑。在任意时刻，若电脑 $i-1$ 与电脑 $i+1$ 都已经开启 $(1<i<n)$，电脑 $i$ 将立刻被自动开启。你不能再开启已经开启的电脑。 求你有多少种开启电脑的方案。两个方案
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摘要：原题链接 题意 给定一棵 $n$ 个结点的树，你从点 $x$ 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。 有 $Q$ 次询问，每次询问给定一个集合 $S$，求如果从 $x$ 出发一直随机游走，直到点集 $S$ 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。 特别地，点 $x$（即起点）视为一开
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摘要：定义 设 $\max(S)$ 为集合 S 中的最大值， $\min(S)$ 为集合 $S$ 中的最小值，$|S|$ 为集合 S 的元素数量，那么有以下两个等式： $$\max(S)=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} \min(T)$$ $$\min(S)=\sum_
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摘要：原题链接 题意 给定一棵 $n$ 个点的树，每个点的权值在 $[1,k]$ 之间，对于 $\forall i \in [1,kn]$，求出有多少种权值分配方案，使得树的最大权独立集大小为 $i$。 $n \leq 1000,k \leq 5$。 思路 不难想到一种很暴力的方式，即枚举每个点的权值，然
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摘要：原题链接 题意 对于一个长度为 $n$ 的仅由 $N,O,I$ 组成且不包含字串 $NOI$ 的字符串 $S$，其与一个给定的长度为 $K$ 的字符串的最长公共子序列为 $LCS$。 求出对于 $LCS=0 \sim K$，一共有多少种合法的字符串 $S$。 $n \leq 1000,K \leq
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摘要：原题链接 题意 有序列 $2,3,4\cdots n$，对于序列中的每一个数，它可以被放入两个集合中的任意一个，或者不选。最后需要满足两个集合间的数两两互质（集合内部的数不需要满足互质），求方案数。 $2 \leq n \leq 500$。 思路 注意到 $n$ 的范围很小，不难想到枚举质数出现状态
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摘要：原题链接 题意 给出一棵有 $n$ 个点的树，求有多少组点 $(i,j,k)$ 满足 $i,j,k$ 两两之间的距离都相等。 $(i,j,k)$ 与 $(i,k,j)$ 算作同一组。 $1\le n\le10^5$。 思路 对于每一个节点 $u$，统计其子树内的答案时，仅 $(i,j,k)$ 满足
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摘要：原题链接 题意 有 $N$ 只喵，每只喵有一个名和一个姓。 有 $M$ 次点名，如果一只喵的名或姓中包含这个字符串，这只喵就会喊”到“。 求： 对于每次点名，有多少只喵喊”到“。 每只喵一共被喊到多少次”到“。 $1 \leq n\le 5 \times 10^4$，$1 \leq m \le 10
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摘要：原题链接 题意 给一个长为 $n$ 的串，有 $q$ 次询问，每次询问一个区间的最小二进制编码长度，即在可以唯一还原的前提下，将这一段子串转化为长度最小的二进制编码。 注意：可以将一个串对应到空串 $ 1 \leq n,q \leq 10^5 $。 思路 看到二进制编码，很快可以想到 Huffman
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摘要：原题链接 题意 给定一棵大小为 $n$ 的 $1$ 为根节点的树，树用如下方式给出：输入 $a_2,a_3,\dots,a_n$，保证 $1\leq a_i<i$，将 $a_i$ 与 $i$ 连边形成一棵树。 接下来有两种操作： 1 l r x 令 $a_i=\max(a_i-x,1)(l\leq
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摘要：原题链接 题意 给定一棵 $n$ 个点的树，树上每条边的长度都为 $1$，第 $i$ 个点的权值为 $a_i$。 Byteasar 想要走遍这整棵树，他会按照某个 $1$ 到 $n$ 的全排列 $b$ 走 $n-1$ 次，第 $i$ 次他会从 $b_i$ 点走到 $b_{i + 1}$ 点，并且这一
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摘要：原题链接 题意 给定一棵以 $1$ 为根，$n$ 个节点的树。设 $d(u,x)$ 为 $u$ 子树中到 $u$ 距离为 $x$ 的节点数。 对于每个点，求一个最小的 $k$，使得 $d(u,k)$ 最大。 $1 \leq n \leq 10^6$。 思路 考虑朴素的 dp 转移，即： $$d_{u
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摘要：大步小步算法 BSGS（baby-step giant-step），即大步小步算法。常用于求解离散对数问题。该算法可以在 $O(\sqrt{p})$ 的时间内求解 $$a^x \equiv b \pmod p$$ 其中，$a \perp p$。方程的解满足 $0 \leq x <p$。 算法描述 令
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摘要：原题链接 题意 求： $$g^{\sum_{d|n}\binom{n}{d} } \mod 999911659$$ $n,g \leq 10^9$。 思路： 因为 $999911659$ 是质数，由欧拉定理的推论，可以得到： $$g^{\sum_{d|n}\binom{n}{d} } \mod 99
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摘要：定义 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT） 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_1,n_2,\cdots,n_k$ 两两互质）： $$\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {n_1} \ x \equiv a_2 \pmo
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摘要：原题链接 题意 $T$ 组询问，每次询问求： $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m} [\gcd(i,j) \in prime]$$ $T=10^4,n,m \leq 10^7$。 思路 不难想到枚举质数，将原式化简为： $$\sum_{p \in prime}\sum_{i=
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摘要：原题链接 题意 求： $$2^{2^{2^{\ldots}}} \mod p$$ 可以证明这个式子一定为一个常数。 $1 \leq p \leq 10^7$ 思路 根据扩展欧拉定理，可以得到： $$2^{2^{2^{\ldots}}} \equiv 2^{(2^{2^{\ldots}} \mod \
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摘要：费马小定理： 当 $a,p \in \mathbb{Z} $ 且 $p$ 为质数，$a \not\equiv 0 \pmod{p} $ 时，有： $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$ 故 $a^b \equiv a^{b \mod (p-1)} \pmod{p}$ 欧拉定理：
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摘要：定义 Manacher 算法是一种支持在 $O(n)$ 时间内求出一个长度为 $n$ 的字符串的最长回文子串的算法。 需要注意的是，Manacher 算法只能求形如 aabbcbbaa 类的回文串，而不能处理形如 aabbbbaa 类的回文串，也就是只能求长度为奇数的回文串。所以，在最初需要对原串进
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摘要：引入 对于数论问题中的一些函数 $f(n)$，如果很难直接求出它的值，却容易求出其倍数和或约数和 $g(n)$，那么可以通过莫比乌斯反演化简运算，求得 $f(n)$ 的值。 定义 $\mu$ 为莫比乌斯函数，定义如下： $$\mu(n)=\begin{cases} 1，n=1 \ 0，n含有平方因子
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摘要：原题链接 题意 有 $n$ 张卡牌，编号为 $1, 2, \ldots, n$。每张卡牌上写着一个正整数，第 $i$ 张卡牌上的正整数为 $s_i$。 现在有 $m$ 轮游戏，第 $i$ 轮游戏会给出 $c_i$ 个质数，需要选择任意多张卡牌，使得这些卡牌上面的正整数的乘积能被该轮游戏给出的每个质数
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摘要：原题链接 题意 对于一个长度为 $n$ 的排列 $P = (p_1, p_2, \ldots, p_n)$ 和整数 $k \ge 0$，定义 $P$ 的 $k$ 次幂 $$P^{(k)} = \left( p^{(k)}_1, p^{(k)}_2, \ldots, p^{(k)}_n \right)
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摘要：引入 考虑一个基本问题：给定序列 $a_n,b_n$，求出序列 $c_n$，满足 $c_i=\sum_{j \oplus k=i} a_jb_k$，其中 $\oplus$ 是一种二元运算符，形如上式的问题一般被称为卷积。 当 $\oplus$ 为 $+$ 时即为一般的卷积（和卷积），当 $\oplu
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摘要：原题链接 题意 给定 $n$ 个字符串，$m$ 次询问一个字符串 $x$ 在另一个字符串 $y$ 的出现次数。 $1 \leq n,m \leq 10^5$。 思路 要解决多个字符串的问题，不难想到 AC 自动机。 根据 AC 自动机上 fail 数组的性质，即以 $fail_i$ 所结尾的字符串一
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摘要：原题链接 题意 有 $n$ 个敌人，第 $i$ 个敌人的距离为 $d_i$，必须在 $[a_i,b_i]$ 时刻内被消灭。 可以在任意时刻消耗 $r$ 的代价，消灭距离为 $r$ 以内的所有敌人，求消灭所有敌人的最小代价。 $1 \leq n \leq 300,1 \leq d_i \leq 100
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摘要：原题链接 题意 给定长度为 $n$ 的颜色序列 $a_i$，每次你可以选择任意长度的连续且颜色相同的一段位置，将其全部变成任意同一种颜色，问你最少总共需要多少次操作才能使得整个序列颜色相同。 限制： 每一种颜色初始时在序列中最多只有 20 个位置（是该种颜色）。 $n \leq 3000$。 思路
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摘要：原题链接 题意 初始时玩家有 $p$ 滴血，满血 $n$ 滴，每个回合会进行如下操作： 若当前还没有满血，则以 $\frac{1}{m+1}$ 的概率增加一滴血； $k$ 次判定，每次以 $\frac{1}{m+1}$ 的概率扣除一滴血，当血量减少为 $0$ 时游戏结束。 求玩家能存活的期望回合数。
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摘要：原题链接 题意 B 君在玩一个游戏，这个游戏由 $n$ 个灯和 $n$ 个开关组成，给定这 $n$ 个灯的初始状态，下标为从 $1$ 到 $n$ 的正整数。 每个灯有两个状态亮和灭，我们用 $1$ 来表示这个灯是亮的，用 $0$ 表示这个灯是灭的，游戏的目标是使所有灯都灭掉。 但是当操作第 $i$
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摘要：原题链接 题意 给定一张 $n$ 个节点 $m$ 条边且存在重边和自环的无向图,,一条路径的权值为路径上边权的异或和。 每个点可以等概率的走向相连的点。求从节点 $1$ 出发第一次走到节点 $n$ 时路径权值的期望。 $1 \leq n \leq 100,1 \leq m \leq 10000$。
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摘要：原题链接 题意 给定一张 $n$ 个节点 $m$ 条边的无向图，初始时，A_zjzj 在 $S$，fxt 在 $T$，现在 A_zjzj 要前去抓住 fxt。 A_zjzj 只会往使得两人的最短距离减 $1$ 的点前进，如果有多个这样的点，他会走编号最小的一个节点。 如果 A_zjzj 在走完这一步
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摘要：原题链接 题意 给定一棵 $n$ 个节点的树。进行充电时，每条边是否可以导电以概率决定，每一个节点自身是否直接进行充电也由概率决定。随后电能可以从直接充电的节点经过通电的边使得其他充节点进行间接充电。 求进入充电状态的节点个数的期望。 $n \leq 5 \times 10^5$。 思路 设 $p_
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摘要：原题链接 题意： 随机生成一个有 $n$ 个节点的二叉树，所有互相不同构的形态等概率出现。求叶子节点的期望数。 $1 \leq n \leq 10^9$。 思路： 设 $f_i$ 为大小为 $i$ 的二叉树的个数。根据经典结论，这是一个卡特兰数，即 $f_i=\dfrac{\binom{2n}{n}
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摘要：原题链接 题意 一棵 $n$ 个节点的树，给每个节点分配工资（$[1, D]$），子节点不能超过父亲节点的工资，问有多少种分配方案。 $ 1 \le n \le 3000 $ , $ 1 \le D \le 10^9 $ 思路 注意到可分配的工资数很多，但实际能用到的至多只有 $n$ 种。可以考虑先
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摘要：简介 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式。 拉格朗日插值法
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摘要：原题链接 题意 定义一个 01 串 $s$ 是好的，当且仅当 $s$ 可以通过以下操作变成全是 $1$ 的串，可以操作无数次。 选择 $i,j$ 满足 $i<j,s_i=s_j=1,2\sum_{k=i}^js_k\ge j-i+1$，然后将 $k\in[i,j]$ 的 $s_k$ 全部改为 $1$
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摘要：原题链接 题意 给定一颗二叉树，每次操作可以修改一个点的权值为任意整数，求将原树变为二叉搜索树的最小操作次数。 注意：本题中的二叉搜索树定义为：每个左边儿子的权值都严格小于中间儿子,每个右边儿子的权值都严格大于中间儿子。 $1 \leq n \leq 10^5$。 思路： 在本题中，一棵二叉树为二叉
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摘要：原题链接 题意 数轴上有 $n$ 个位置，第 $i$ 个位置有 $a_i$ 个球，将一个球从 $i$ 移动到 $i+1$ 或从 $i+1$ 移动到 $i$ 需要花费 $w_i$ 的代价。 对于所有的结果数量序列 $b$，满足 $\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}b_i=
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摘要：第一类斯特林数 定义 将 $n$ 个互不相同的元素，划分为 $k$ 个互不区分的非空轮换的方案数，记为 $s(n,k)$，或 $n \brack m $。 一个轮换就是一个首尾相接的环形排列。如轮换 $[A,B,C,D]$，我们认为 $[A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D
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摘要：定义 考虑一个有 $n$ 个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 $n$ 个元素的错排数记为 $D_n$。 对于情况较少的排列，可以使用枚举法。 当 $n=1$ 时，全排列只有一种，不是错排，$D_1 = 0$。 当 $n=2$ 时，全排列
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摘要：前置芝士 二项式定理 $(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}$、 组合数的性质： 将选出的集合对全集取补集，数值不变： $\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}$ 。 $(1)$ 根据定义可以推出： $\binom{n}{k}=\f
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摘要：定义 设全集 $U$ 中有 $n$ 种不同的属性，而第 $i$ 种属性称为 $P_i$，拥有属性 $P_i$ 的元素构成集合 $S_i$，那么 $ \left | \bigcup_{i=1}^{n} S_i\right | =\sum \left | S_i \right |-\sum_{i<j}
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摘要：参考了这篇博客 引入 $n$ 个元素进栈序列为：$1,2,3,4...n$，求总共有多少种出栈序列。 将进栈表示为 $+1$，出栈表示为 $-1$，则 $1,3,2$ 的出栈序列可以表示为：$+1,-1,+1,+1,-1,-1$。 根据栈本身的特点，每个出栈序列的所有前缀和必然 $\geq 0$，并
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摘要：以下部分内容摘自OI Wiki 排列数 从 $n$ 个数中选出 $m$ 个数按照一定的顺序排列，用 $A_{n}^{m}$ 表示。排列的计算公式如下： $A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$。 组合数 从 $n$ 个不同的元素中，选出
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