min-max 容斥学习笔记

定义

设 $\max(S)$ 为集合 S 中的最大值， $\min(S)$ 为集合 $S$ 中的最小值，$|S|$ 为集合 S 的元素数量，那么有以下两个等式：

$$\max(S)=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} \min(T)$$

$$\min(S)=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} \max(T)$$

对于 min-max 容斥，最简单的应用其实就是 $\min (a,b)=a+b-\max(a,b)$。

在一些题目中，如果题目要求的是最大值，但是直接求最大值比较困难，而求最小值很方便，那么就可以用到 min-max 的方式 $O(2^n)$ 枚举子集容斥得出答案。

按位或

刚开始你有一个数字 $0$，每一秒钟你会随机选择一个 $[0,2^n-1]$ 的数字，与你手上的数字进行或操作。选择数字 $i$ 的概率是 $p_i$。保证 $0\leq p_i \leq 1$，$\sum p_i=1$ 。问期望多少秒后，你手上的数字变成 $2^n-1$。

$n \leq 20$。

思路

一个事实是，min-max 容斥定理在期望下也成立，记 $E(\max(S))$ 为集合中 $\max$ 值的期望，那么有

$$E(\max(S))=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} E(\min(T))$$

$$E(\min(S))=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} E(\max(T))$$

在本题中，$E(\max(S))$ 可以定义为 $S$ 集合中最后一个变为 $1$ 的数的期望时间，那么也就是 $S$ 集合中全部变为 $1$ 的期望时间，发现这个直接求是做不到的；而 $E(\min(S))$ 就定义为 $S$ 集合中第一个变为 $1$ 的数的期望时间，而求这个就比较方便了。

令离散型随机变量 $X$ 表示第一次变为 $1$ 的时间，由高中概率相关的数学知识可以知道：

$$P(X=k)=(1-p)^{k-1} p$$

那么根据期望的定义，可以知道：

$$E(X)=\sum_{i=1}^{\infty} p(x=i)=\sum_{i=1}^{\infty} (1-p)^{i-1}p=p+(1-p)p+(1-p)^2p+\cdots+(1-p)^{\infty}p$$

不难发现这就是一个等比数列求和的式子，套用等比数列求和公式，可以得到：

$$E(X)=p \times \frac{1}{(1-(1-p))^2}=\frac{1}{p}$$

那么对于一个集合 $T$ 来说，$P_x$ 表示选到 $x$ 这个数的概率，那么对于每次选择的数 $G$，只需要满足 $G \cap T \ne \emptyset$ 就代表选到了这个集合，于是就有：

$$E(\min(T))=\frac{1}{P_T}=\frac{1}{\sum_{G \cap T \ne \emptyset} P_G}=\frac{1}{1-\sum_{G \cap T = \emptyset} P_G}$$

注意到 $\sum_{G \cap T = \emptyset} P_G$ 实际上就是一个高维前缀和的形式，于是就可以用到 FWT。最后再套用一下 min-max 容斥即可得到答案。时间复杂度为 $O(2^nn)$。

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1<<20;
const double eps=1e-8;
double p[N],ans;
int n,cnt[N];
void OR(double f[],int op)
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	    for(int j=0;j<(1<<n);j++)
	        if((j>>i)&1) f[j]+=op*f[j^(1<<i)];
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);for(int i=0;i<(1<<n);i++) scanf("%lf",&p[i]);OR(p,1);
	for(int i=0;i<(1<<n);i++) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
	for(int i=1;i<(1<<n);i++)
	{
		if(1-p[((1<<n)-1)^i]<eps) continue;double val=1.0/(1-p[((1<<n)-1)^i]);
		if(cnt[i]&1) ans+=val;else ans-=val;
	}
	if(ans>eps) printf("%.10lf\n",ans);else puts("INF");
	return 0;
}