【洛谷】P4139 上帝与集合的正确用法（扩展欧拉定理）

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题意

求：

$$2^{2^{2^{\ldots}}} \mod p$$

可以证明这个式子一定为一个常数。

$1 \leq p \leq 10^7$

思路

根据扩展欧拉定理，可以得到：

$$2^{2^{2^{\ldots}}} \equiv 2^{(2^{2^{\ldots}} \mod \varphi(p)+\varphi(p))}\pmod p$$

这个式子可以递归下去，边界条件自然就是 $p=1$ 的情况，而欧拉函数可以在线性筛的同时 $O(n)$ 预处理得到。

code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e7+10;
int prime[N],tot,phi[N];bool vis[N];
void init()
{
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(!vis[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<N;j++)
		{
			vis[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0) {vis[prime[j]*i]=true,phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];break;}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}
int mul(int a,int b,int p){int res=1;while(b) ((b&1)&&(res=1ll*res*a%p)),a=1ll*a*a%p,b>>=1;return res;}
int solve(int p)
{
	if(p==1) return 0;
	return mul(2,solve(phi[p])+phi[p],p);
}
int main()
{
	init();int T,p;scanf("%d",&T);while(T--) scanf("%d",&p),printf("%d\n",solve(p));
	return 0;
}