【CF1572C Paint】（区间dp）

题意

给定长度为 $n$ 的颜色序列 $a_i$ ，每次你可以选择任意长度的连续且颜色相同的一段位置，将其全部变成任意同一种颜色，问你最少总共需要多少次操作才能使得整个序列颜色相同。

限制：每一种颜色初始时在序列中最多只有 20 个位置（是该种颜色）。

$n \leq 3000$ 。

思路

考虑将区间 $[l,r]$ 内染成同一种颜色，最暴力的办法就是钦定一种颜色，每次选择一个位置染成该颜色，那么最坏情况下需要染 $r-l$ 次。而如果当前区间的两端颜色相同，那么就可以减少一次染色操作。这启发我们在序列中选取若干个相同颜色的点对，如下图所示：

显然，如果选取的两对点对相交，那么也只能减少一次操作了。

于是题意就转化为了在序列中选取最多不相交的相同颜色点对。可以考虑区间 dp。

令 $f_{l,r}$ 为在 $[l,r]$ 区间内最多选取的点对数量，得到转移方程：

f_{l, r} = max (f_{l + 1, r}, max_{a_{k} = a_{r}}) f_{i + 1, k - 1} + 1 + f_{k, j}

$f_{l,r}=\max(f_{l+1,r},\max_{a_k=a_r} )f_{i+1,k-1}+1+f_{k,j}$

这个转移的实质上就是在枚举左端点可以和哪一个点配对，由于一个点可以同时向左和向右配对，所以转移方程里是 $f_{k,j}$ 而不是 $f_{k+1,j}$ 。

根据题意，区间中满足 $a_k=a_r$ 的位置不超过 20，所以这样转移的复杂度是正确的。

code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=3030;
int f[N][N],n,a[N];
vector<int>pos[N];
void chkmax(int &a,int b){if(a<b) a=b;}
void solve()
{
	scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) pos[i].clear();
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),pos[a[i]].push_back(i),f[i][i]=0;
	for(int len=2;len<=n;len++)
	    for(int l=1,r=l+len-1;r<=n;l++,r++)
	    {
	    	f[l][r]=f[l+1][r];
	    	for(auto k:pos[a[l]])
	    	{
	    		if(k<=l) continue;if(k>r) break;
	    		chkmax(f[l][r],f[l+1][k-1]+1+f[k][r]);
	    		//f[k][r]而不是f[k+1][r]，因为可以同时优化l,k,r 
			}
		}
	printf("%d\n",n-1-f[1][n]);
}
int main()
{
	int T;scanf("%d",&T);while(T--) solve();
	return 0;
}