错排数

定义

考虑一个有 $n$ 个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 $n$ 个元素的错排数记为 $D_n$。

对于情况较少的排列，可以使用枚举法。

当 $n=1$ 时，全排列只有一种，不是错排，$D_1 = 0$。

当 $n=2$ 时，全排列有两种，即 $1、2$ 和 $2、1$，后者是错排，$D_2=1$。

当n=3时，全排列有六种，其中只有 $3、1、2$ 和 $2、3、1$ 是错排，$D_3=2$。用同样的方法可以知道 $D_4=9$。

最小的几个错排数是：$D_1 = 0，D_2 = 1，D_3=2，D_4 = 9，D_5 = 44，D_6 = 265，D_7 = 1854$。

递推式：

考虑对于一个数 $n$，放在了第 $i$ 个位置，那么 $i$ 这个数就可以放在 $n$ 位置，或者除了 $i,n$ 以为的任意一个位置。

（1）$i$ 放在了 $n$ 位置，那么剩下的 $n-2$ 个数的排列方法就是 $D_{n-2}$。

（2）$i$ 不放在 $n$ 位置，那么 $i$ 就有 $n-2$ 个位置可以去，其余的所有元素也都有 $n-2$ 个位置可以去，那么就成为了 $n-1$ 个元素的错排问题，方案数为 $D_{n-1}$。

而这样的 $i$ 一共有 $n-1$ 个，所以最终的递推式就是：

$D_{n}=(n-1)\times (D_{n-1}+D_{n-2})$。

排列计数

求有多少种 $1$ 到 $n$ 的排列 $a$，满足序列恰好有 $m$ 个位置 $i$，使得 $a_i = i$。

答案对 $10^9 + 7$ 取模。

$1 \leq n \leq 10^6$，$0 \leq m \leq 10^6$。

思路：

排列中有 $m$ 个位置在原位置上，那么也就是有 $n-m$ 个数不在原位置上，这部分的方案数就是 $D_{n-m}$，而选取这 $m$ 个位置的方案数为 $\binom{n}{m}$，所以最终的答案为：

$Ans=\binom{n}{m} D_{n-m}$。

code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e6+10;
int fac[N],infac[N],inv[N],n,m,T,d[N];
void init()
{
	fac[0]=infac[0]=inv[0]=fac[1]=infac[1]=inv[1]=1;d[1]=0;d[2]=1;
	for(int i=2;i<N-1;i++)
	{
		d[i+1]=1ll*i*(d[i]+d[i-1])%mod;
		fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mod;
		inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		infac[i]=1ll*infac[i-1]*inv[i]%mod;
	}
}
int C(int n,int m){return 1ll*fac[n]*infac[m]%mod*infac[n-m]%mod;}
int main()
{
	init();
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(n==m) puts("1");
		else printf("%d\n",(1ll*C(n,m)*d[n-m]%mod+mod)%mod);
	}
	return 0;
}