【洛谷】P3975 [TJOI2015]弦论（SAM）

原题链接

题意

对于一个给定长度为 $N$ 的字符串，求它的第 $K$ 小子串。

数据范围

$1\leq n \leq 10^5$，$0\leq t \leq 1$，$1\leq k \leq 10^9$。

$t$ 为 $0$ 则表示不同位置的相同子串算作一个，$t$ 为 $1$ 则表示不同位置的相同子串算作多个。

思路

考虑后缀自动机（下文默认已经知晓 SAM 的基本性质）。

根据题意，当 $t=0$ 时，SAM 上的每个节点的 $Endpos$ 集合大小（该集合代表该节点对应的所有子串在原串中所有出现的位置）都为 $1$。反之则可以根据 parent 树的性质从下往上递推。定义 $i$ 点的 $Endpos$ 集合大小为 $siz[i]$。

定义 $sum[i]$ 表示经过 $i$ 节点的子串数目（严格来说并不是，往后看就明白了）。即当前节点的 $siz$ 加上以当它为前缀的所有节点的 $siz$。可以在 SAM 的 DAG 上逆序递推。需要注意的是，这里不需要考虑 $i$ 节点对应的所有子串，因为接下来查询的时候根据字典序的性质是从前往后推的，也就是一个前缀不断往后扩展，而不是后缀往前扩展（举个简单的例子，当前节点对应的子串集合为 {$aabb,abb,bb$}，那么后面查询到这里时可能是从 $aab$ 过来的，也可能是从 $b$ 过来的，此时就与对应的其他子串无关了）。

查询的时候就是从根节点往后推，根据当前节点的 $siz$ 和 $sum$ 判断是否要继续往后推，具体实现可以见代码，这部分放在代码里将更清晰。

code

#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
#define LL long long
struct SAM{int ch[26],len,fa;}node[N];
int c[N],last=1,tot=1,t,k,num[N];LL siz[N],sum[N]; char s[N];
void extend(int c)
{
	int p=last,np=last=++tot;node[np].len=node[p].len+1;siz[np]=1;
	while(p&&!node[p].ch[c]) node[p].ch[c]=np,p=node[p].fa;
	if(!p) node[np].fa=1;
	else
	{
		int q=node[p].ch[c];
		if(node[p].len+1==node[q].len) node[np].fa=q;
		else
		{
			int nq=++tot;node[nq]=node[q];node[nq].len=node[p].len+1;
			node[q].fa=node[np].fa=nq;
			while(p&&node[p].ch[c]==q) node[p].ch[c]=nq,p=node[p].fa;
		}
	}
}
void print(int now,int k) //k表示当前还要查询的第k小子串 
{
	if(k<=siz[now]) return ; //如果当前节点出现次数不小于k，就代表查询子串就是当前已经走到的子串，不需要往后推 
	k-=siz[now];
	for(int i=0;i<26;i++) //根据字典序的性质， 从小到大枚举当前位字符 
	{
		int t=node[now].ch[i];if(!t) continue;
		if(sum[t]<k) k-=sum[t];//有点类似于splay查询右子树时减去左子树的size 
		else {printf("%c",i+'a');print(t,k);return ;}
	}
}
int main()
{
	scanf("%s%d%d",s+1,&t,&k);for(int i=1;s[i];i++) extend(s[i]-'a');
	for(int i=1;i<=tot;i++) c[node[i].len]++;//求siz和sum数组可以按照这里的基数排序的方式，也可以直接建图dfs 
	for(int i=1;i<=tot;i++) c[i]+=c[i-1];
	for(int i=1;i<=tot;i++) num[c[node[i].len]--]=i;
	for(int i=tot;i>=1;i--) siz[node[num[i]].fa]+=siz[num[i]];
	for(int i=1;i<=tot;i++) t?sum[i]=siz[i]:siz[i]=sum[i]=1;
	siz[1]=sum[1]=0;//需要注意，根节点没有任何信息，下面的sum[1]是判断无解 
	for(int i=tot;i>=1;i--)
	    for(int j=0;j<26;j++) 
	        sum[num[i]]+=sum[node[num[i]].ch[j]];
	if(sum[1]<k) puts("-1");
	else print(1,k),puts("");
	return 0;
}```