Manacher 算法学习笔记

Manacher 算法是一种支持在 $O(n)$ 时间内求出一个长度为 $n$ 的字符串的最长回文子串的算法。

需要注意的是，Manacher 算法只能求形如 $aabbcbbaa$ 类的回文串，而不能处理形如 $aabbbbaa$ 类的回文串，也就是只能求长度为奇数的回文串。所以，在最初需要对原串进行预处理，用没有出现过的字符将原串中的相邻两个字符隔开，同时要用两个不同的字符分别放在原串的开头和结尾。
如原串为 $abbcac$，转化后就可以是 $#a#b#b#c#a#c#^。此时再和原串中的回文子串一一对应，会发现原串的回文串长度就是新串的回文串半径的长度减一。

回到 Manacher 算法，它本身的思想是从前往后一个个递推，求出 $p[i]$ 表示以 $s_i$ 为中心的最长回文串的半径长度。而 $\max(s_i-1)$ 自然就是答案。（下文简记回文子串 $s_i$ 表示以 $s_i$ 为中心的最长回文子串）

从前往后递推的时候，维护一个右边界最靠右的回文子串，记为 $maxright$，简称 $mr$，而回文子串的中心就被称为 $mid$。
由于这个回文子串是在 $i$ 之前枚举到的，所以必然有 $mid<i$。但是 $i$ 和 $mr$ 的大小关系就是不确定的，需要分情况讨论。

$1$. $i \leq mr$。由于此时 $i$ 在回文子串 $mid$ 内，那么就可以在这个回文子串中找到 $i$ 的对称点，记为 $j$，那么根据简单的数学知识，可知 $j=2*mid-i$。

(1).$j-p[i]+1 \geq 2*mid-mr$,即 回文子串 $j$ 完全在回文子串 $mid$ 内，那么根据回文子串内部 $mid$ 左右两边对称的性质，就有 $p[i]=p[j]$。如果此时恰好 $i+p[j]-1$ 取到 $mr$，那么就无法保证 $i+p[j]$ 是否与 $i-p[j]$ 相等，因此是 $p[i] \geq p[j]$。

(2).$j-p[i]+1 \geq 2*mid-mr$，即回文子串 $j$ 的一部分前缀不在回文子串 $mid$ 内。此时一定满足 $p[i] \leq mr$。证明如下图所示：

可以推出最左边和最右边的红色部分的子串对称，这与 $mr$ 是回文子串 $mid$ 的右边界矛盾。故一定有 $p[i] \leq mr$。但是根据回文子串 $i$ 与左边的回文子串 $j$ 对称，只能是 $p[i]=mr-i+1 <p[j]$。

综上，当 $i \leq mr$ 时，有 $p[i] \geq \min(p[j],mr-i+1)$。

$2$.$i >mr$。此时回文子串 $i$ 就有可能很大。直接从 $p[i]=1$ 开始枚举即可。

综合以上两种情况，我们先求出 $p[i]$ 的下界，并不断往外拓展，直到不能扩展为止。如果此时 $i+p[i]-1 > mr$，就需要更新 $mid$ 和 $mr$。

下面来简单证明一下为什么这样做的时间复杂度是 $O(n)$。在情况 $1$ 中，只有当 $j-p[j]+1$ 恰好与 $2*mid-mr$ 相等时扩展操作会执行多次。那么此时的 $mid$ 就会更新成 $i$，实际上也就是 $mr$ 在单调递增。而情况 $2$ 也是如此，故扩展操作最多执行 $O(n)$ 次。那么复杂度也就稳定在 $O(n)$。

code：

#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=32000005;
int ans,n,p[N];char a[N],b[N];
void init()
{
	int k=0;b[k++]='$',b[k++]='#';
	for(int i=0;a[i];i++) b[k++]=a[i],b[k++]='#';
	b[n=k]='^';//$和^主要是防止边界问题，如果不想加也可以在while循环里特判一下 
}
void manacher()
{
	int mr=0,mid;//在代码实现中，通常会将mr定义为最长回文子串最右边再过去一个字符的下标，因此下面部分代码与思路有所不同 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i<mr) p[i]=min(mr-i,p[2*mid-i]);
		else p[i]=1;
		while(b[i+p[i]]==b[i-p[i]]) p[i]++;
		if(i+p[i]>mr) mr=i+p[i],mid=i;
		ans=max(ans,p[i]-1);
	}
}
int main()
{
	scanf("%s",a);init();manacher();printf("%d\n",ans);
	return 0;
}```