【洛谷】P4887 【模板】莫队二次离线

题意

给定一个长度为 $n$ 的序列和一个常数 $k$ ，每次询问一个区间 $[l,r]$ 内，有多少对 $i,j$ ，满足 $l\leq i<j \leq r$ ，且 $a_i \oplus a_j$ 的二进制表示下恰好有 $k$ 位为 $1$ 。

数据范围

$1 \leq n,m \leq 10^5,0 \leq a_i <2^{14},0\leq k\leq 14$ 。

思路

按照普通莫队的思路，设当前的指针为 $L,R$ ，询问的区间为 $l,r$ ， $S_{x,y}$ 表示 $1 \sim x$ 中有多少数与 $a_y$ 配对。以 $R$ 转移到 $R+1$ 为例，更新的答案就为 $S_{R,R+1}-S_{L-1,R+1}$ 。对于形如 $S_{x,x+1}$ ，可以直接预处理（后面会提到），但是对于 $S_{R,L-1}$ 这类问题，直接预处理的代价太大，于是就可以考虑二次离线处理。

首先考虑预处理 $S_{x,x+1}$ 。记 $f[i]$ 表示 $1\sim i$ 中有多少数与 $a[i+1]$ 配对， $w[i][x]$ 表示 $1\sim i$ 中有多少数与 $x$ 配对。显然，有 $f[i]=w[i][a[i+1]]$ 。

对于等式 $a \oplus b=y$ ，两边同时异或 $b$ ，由于 $b \oplus b=0,a \oplus 0=a$ ，得到 $a=b \oplus y$ ，而 $y$ 就是所有满足二进制下有 $k$ 位为 $1$ 的数。由于 $a\oplus b <2^{14}$ ，所以 $y$ 一共有 $C_{14}^{k}$ 个，也就是最多只有 $3432$ 个。

考虑从 $1 \sim n$ 枚举 $a_i$ ，再枚举所有的 $y$ ，令 $g[i][a_i \oplus y]++$ ，由于 $g[i+1][x]$ 和 $g[i][x]$ 只存在 $a[i+1]$ 的差别，可以直接略去第一维。此时， $g[x]$ 就表示 $1\sim i$ 中有多少数与 $x$ 配对，那么就可以直接更新 $f[i]=g[a[i+1]]$ 。至此预处理完毕，时间复杂度为 $O(C_{14}^{k}n)$ 。

莫队转移时，分为四类讨论需要二次离线的询问。

$1.$ 从 $R$ 转移到 $r$ 。总增加的贡献为 $\sum_{i=R}^{r-1} S_{i,i+1}-S_{L-1,i+1}$ 。前面一部分直接用 $\sum_{i=R}^{r-1} f[i]$ 转移即可。后面一部分则记录到 $L-1$ 的询问中二次离线处理。

$2.$ 从 $r$ 转移到 $R$ 。思路同上，但是需要注意此时是减去贡献，所以需要改变一下符号，具体实现可以看代码。

3.从 $L$ 转移到 $l$ 。总增加的贡献为 $\sum_{i=l}^{L-1} S_{R,i}-S_{i,i}$ 。此时需要注意，尽管 $i=i$ 的情况在题意中是不合法的，但是此时仍然需要特判 $k=0$ 的情况，因为尽管 $f[i]$ 中不包含异或自己的情况，但是后面会提到，在二次离线是是会把这类情况算进去的。

4.从 $l$ 转移到 $L$ 。思路同上，也别忘了变符号。

下面讨论二次离线的写法。

对于每一个 $i$ ，设前面莫队的时候需要加上一个 $p*\sum_{j=l}^{r}S_{i,j}$ （其中 $|p|=1$ ，表示整体的正负符号）。此时 $j$ 和 $i$ 的大小关系就是不确定的，也就是上面提到为什么要特判 $k=0$ 的情况。此时注意到区间 $1 \sim i$ 是固定的，那么按照预处理时的方式，在解决询问时就可以得到所有 $S_{i,j}$ 的值（具体实现可以参考代码）。此时直接枚举 $j$ 更新答案，根据莫队的性质，每次询问的区间 $[l,r]$ 就是在离线莫队时相邻两个询问在一个方向（左边或右边）相差的范围，总的更新次数不会超过 $O(n\sqrt m)$ 。至此就得到了一个复杂度为 $O(C_{14}^{k}n+n\sqrt m)$ 的算法。

最后，需要注意一下，在莫队时记录的答案只是与上一个区间的差值，相当于差分数组，所以还需要做一次前缀和。同时，答案别忘了开** long long**。

code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
#define LL long long
int g[N],f[N],len,n,m,num[N],k,tot,a[N]; LL ans[N],res[N];
struct node{int l,r,id;}q[N];
struct twice{int id,l,r,sign;};
vector<twice>range[N];
bool cmp(node x,node y)
{
	int i=x.l/len,j=y.l/len; return  i!=j?i<j: x.r<y.r;
}
int count(int x){int res=0; for(int i=0;i<14;i++) res+=(x>>i)&1;return res;}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);len=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;sort(q+1,q+m+1,cmp);
	for(int i=0;i<(1<<14);i++) if(count(i)==k) num[++tot]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=tot;j++) ++g[a[i]^num[j]];
		f[i]=g[a[i+1]];
	}
	for(int i=1,L=1,R=0;i<=m;i++)
	{
		int l=q[i].l,r=q[i].r;
		if(R<r) range[L-1].push_back(twice{i,R+1,r,-1});
		while(R<r) res[i]+=f[R++];
		if(R>r) range[L-1].push_back(twice{i,r+1,R,1});
		while(R>r) res[i]-=f[--R];
		if(L<l) range[R].push_back(twice{i,L,l-1,-1});
		while(L<l) res[i]+=f[L-1]+(!k),L++;
		if(L>l) range[R].push_back(twice{i,l,L-1,1});
		while(L>l) res[i]-=f[L-2]+(!k),L--;
	}
	memset(g,0,sizeof(g));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=tot;j++) ++g[a[i]^num[j]];
		for(int j=0;j<range[i].size();j++)
		    for(int k=range[i][j].l;k<=range[i][j].r;k++)
		        res[range[i][j].id]+=g[a[k]]*range[i][j].sign;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++) res[i]+=res[i-1];
	for(int i=1;i<=n;i++) ans[q[i].id]=res[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
	return 0;
}