学习笔记 - 随笔分类 - 曙诚

摘要：定义设

max (S)

$\max(S)$ 为集合 S 中的最大值，

min (S)

$\min(S)$ 为集合

S

$S$ 中的最小值，

| S |

$|S|$ 为集合 S 的元素数量，那么有以下两个等式：

max (S) = \sum_{T \subseteq S} (- 1)^{| T | + 1} min (T)

$\max(S)=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} \min(T)$ $$\min(S)=\sum_ 阅读全文

posted @ 2023-03-21 09:26 曙诚阅读(51) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BSGS学习笔记

摘要：大步小步算法 BSGS（baby-step giant-step），即大步小步算法。常用于求解离散对数问题。该算法可以在

O (\sqrt{p})

$O(\sqrt{p})$ 的时间内求解

a^{x} \equiv b (\mod p)

$a^x \equiv b \pmod p$ 其中，

a ⊥ p

$a \perp p$ 。方程的解满足

0 \leq x < p

$0 \leq x <p$ 。算法描述令阅读全文

posted @ 2023-03-17 08:34 曙诚阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

中国剩余定理（CRT）学习笔记

摘要：定义中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中

n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}

$n_1,n_2,\cdots,n_k$ 两两互质）： $$\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {n_1} \ x \equiv a_2 \pmo 阅读全文

posted @ 2023-03-16 21:09 曙诚阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉定理学习笔记

摘要：费马小定理：当

a, p \in Z

$a,p \in \mathbb{Z}$ 且

p

$p$ 为质数，

a ≢ 0 (\mod p)

$a \not\equiv 0 \pmod{p}$ 时，有：

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ 故

a^{b} \equiv a^{b \mod (p - 1)} (\mod p)

$a^b \equiv a^{b \mod (p-1)} \pmod{p}$ 欧拉定理：阅读全文

posted @ 2023-03-16 15:48 曙诚阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Manacher 算法学习笔记

摘要：定义 Manacher 算法是一种支持在

O (n)

$O(n)$ 时间内求出一个长度为

n

$n$ 的字符串的最长回文子串的算法。需要注意的是，Manacher 算法只能求形如 aabbcbbaa 类的回文串，而不能处理形如 aabbbbaa 类的回文串，也就是只能求长度为奇数的回文串。所以，在最初需要对原串进阅读全文

posted @ 2023-03-15 21:24 曙诚阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫比乌斯反演学习笔记

摘要：引入对于数论问题中的一些函数

f (n)

$f(n)$ ，如果很难直接求出它的值，却容易求出其倍数和或约数和

g (n)

$g(n)$ ，那么可以通过莫比乌斯反演化简运算，求得

f (n)

$f(n)$ 的值。定义

μ

$\mu$ 为莫比乌斯函数，定义如下： $$\mu(n)=\begin{cases} 1，n=1 \ 0，n含有平方因子阅读全文

posted @ 2023-03-15 21:18 曙诚阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【洛谷】P8338 [AHOI2022] 排列

摘要：原题链接题意对于一个长度为

n

$n$ 的排列

P = (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n})

$P = (p_1, p_2, \ldots, p_n)$ 和整数

k \geq 0

$k \ge 0$ ，定义

P

$P$ 的

k

$k$ 次幂 $$P^{(k)} = \left( p^{(k)}_1, p^{(k)}_2, \ldots, p^{(k)}_n \right) 阅读全文

posted @ 2023-03-15 14:52 曙诚阅读(65) 评论(0) 推荐(0) 编辑

快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT) 学习笔记

摘要：引入考虑一个基本问题：给定序列

a_{n}, b_{n}

$a_n,b_n$ ，求出序列

c_{n}

$c_n$ ，满足

c_{i} = \sum_{j \oplus k = i} a_{j} b_{k}

$c_i=\sum_{j \oplus k=i} a_jb_k$ ，其中

\oplus

$\oplus$ 是一种二元运算符，形如上式的问题一般被称为卷积。当

\oplus

$\oplus$ 为

+

$+$ 时即为一般的卷积（和卷积），当 $\oplu 阅读全文

posted @ 2023-03-15 11:15 曙诚阅读(139) 评论(0) 推荐(0) 编辑

拉格朗日插值学习笔记

摘要：简介在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式。拉格朗日插值法阅读全文

posted @ 2023-03-10 20:46 曙诚阅读(62) 评论(0) 推荐(0) 编辑

斯特林数学习笔记

摘要：第一类斯特林数定义将

n

$n$ 个互不相同的元素，划分为

k

$k$ 个互不区分的非空轮换的方案数，记为

s (n, k)

$s(n,k)$ ，或

[\binom{n}{m}]

$n \brack m$ 。一个轮换就是一个首尾相接的环形排列。如轮换

[A, B, C, D]

$[A,B,C,D]$ ，我们认为 $[A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D 阅读全文

posted @ 2023-03-10 06:55 曙诚阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

错排数

摘要：定义考虑一个有

n

$n$ 个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。

n

$n$ 个元素的错排数记为

D_{n}

$D_n$ 。对于情况较少的排列，可以使用枚举法。当

n = 1

$n=1$ 时，全排列只有一种，不是错排，

D_{1} = 0

$D_1 = 0$ 。当

n = 2

$n=2$ 时，全排列阅读全文

posted @ 2023-03-09 16:00 曙诚阅读(428) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二项式反演学习笔记

摘要：前置芝士二项式定理

(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{i} b^{n - i}

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}$ 、组合数的性质：将选出的集合对全集取补集，数值不变：

(\binom{n}{m}) = (\binom{n}{n - m})

$\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}$ 。

(1)

$(1)$ 根据定义可以推出： $\binom{n}{k}=\f 阅读全文

posted @ 2023-03-09 15:42 曙诚阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

容斥原理学习笔记

摘要：定义设全集

U

$U$ 中有

n

$n$ 种不同的属性，而第

i

$i$ 种属性称为

P_{i}

$P_i$ ，拥有属性

P_{i}

$P_i$ 的元素构成集合

S_{i}

$S_i$ ，那么 $ \left | \bigcup_{i=1}^{n} S_i\right | =\sum \left | S_i \right |-\sum_{i<j} 阅读全文

posted @ 2023-03-08 18:24 曙诚阅读(34) 评论(0) 推荐(0) 编辑

卡特兰数学习笔记

摘要：参考了这篇博客引入

n

$n$ 个元素进栈序列为：

1, 2, 3, 4... n

$1,2,3,4...n$ ，求总共有多少种出栈序列。将进栈表示为

+ 1

$+1$ ，出栈表示为

- 1

$-1$ ，则

1, 3, 2

$1,3,2$ 的出栈序列可以表示为：

+ 1, - 1, + 1, + 1, - 1, - 1

$+1,-1,+1,+1,-1,-1$ 。根据栈本身的特点，每个出栈序列的所有前缀和必然

\geq 0

$\geq 0$ ，并阅读全文

posted @ 2023-03-07 20:46 曙诚阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑

排列组合学习笔记

摘要：以下部分内容摘自OI Wiki 排列数从

n

$n$ 个数中选出

m

$m$ 个数按照一定的顺序排列，用

A_{n}^{m}

$A_{n}^{m}$ 表示。排列的计算公式如下：

A_{n}^{m} = n (n - 1) (n - 2) . . . (n - m + 1) = \frac{n!}{(n - m)!}

$A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$ 。组合数从

n

$n$ 个不同的元素中，选出阅读全文

posted @ 2023-03-02 21:18 曙诚阅读(253) 评论(0) 推荐(0) 编辑

构造题学习笔记

摘要：抽屉原理在构造题中，若我们遇到了

n / k

$n/k$ 这样的操作次数的时候，可以考虑将所有数划分为

k

$k$ 个集合。这样，最小的那个集合的大小就一定小于等于

n / k

$n/k$ 了。 CF1198C 给定一张有

3 n

$3n$ 个点，

m

$m$ 条边的无向图。请找到一个大小为

n

$n$ 的点独立集或边独立集。 $n \leq 阅读全文

posted @ 2023-02-20 21:23 曙诚阅读(21) 评论(0) 推荐(0) 编辑

圆方树学习笔记

摘要：部分内容参照了OI-wiki 定义对于这样的一个无向图，左侧的

1, 2, 3

${1,2,3}$ 和右侧的

3, 4, 5

${3,4,5}$ 分别构成一个点双联通分量。中间的

3

$3$ 号节点就是一个割点。不难发现，点双与点双之间，通过割点连接。把原图中的点双新建成一个节点，称之为方点；而原图中的割点以及剩下的孤点，称之为圆阅读全文

posted @ 2023-01-14 10:04 曙诚阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

后缀自动机（SAM）学习笔记

摘要：后缀自动机的概念比较抽象，首先给出SAM的讲义一、SAM的性质: 1.SAM是个状态机。一个起点，若干终点。原串的所有子串和从SAM起点开始的所有路径一一对应，不重不漏。所以终点就是包含后缀的点。 2.每个点包含若干子串，每个子串都一一对应一条从起点到该点的路径。且这些子串一定是里面最长子串的连续阅读全文

posted @ 2022-02-11 10:53 曙诚阅读(405) 评论(0) 推荐(0) 编辑

后缀数组学习笔记

摘要：定义记一个长度为

n

$n$ 的字符串

S

$S$ ，以

S

$S$ 中第

i

$i$ 个下标开始到结尾的子串被称为

S

$S$ 的第

i

$i$ 个后缀。显然，一个长度为

n

$n$ 的字符串有

n

$n$ 个后缀。下面介绍一种倍增算法实现

O (n \log n)

$O(n \log n)$ 对后缀按字典序进行排序。倍增算法记

s a [i]

$sa[i]$ 表阅读全文

posted @ 2022-02-10 11:36 曙诚阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑

网络流学习笔记（三）——费用流

摘要：N总觉得费用流太简单了，于是让我赶紧学习一下。定义费用：给网络的每一条边都有一个费用值

w

$w$ ，那么该条边的费用就是

w * f

$w*f$ ，所有边的费用之和即为网络的费用。费用流：一个流网络中，所有最大的可行流中，费用最小值（或最大值）。即最小费用最大流（或最大费用最大流）。解法只需要将阅读全文

posted @ 2021-09-25 19:44 曙诚阅读(571) 评论(0) 推荐(1) 编辑

ListenSnow

看着天边似在眼前也甘愿赴汤蹈火去走它一遍

随笔分类 - 学习笔记

公告

搜索

常用链接

我的标签

随笔分类

随笔档案

阅读排行榜

评论排行榜

推荐排行榜

最新评论