欧拉定理

只是简单说明一下。

欧拉函数 $\varphi(x)$

定义 

设n为正整数，则1,2,...,n中与n互素的整数的个数记作$\varphi(x)$,叫做欧拉函数。

性质（我认为比较有用的几个）

• 设p为素数，则$\varphi(x)=p-1$. 
• 设整数n有标准分解式$p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}$，则

                      $\varphi(n)=n\prod ^k_{i=1}(1-\frac{1}{p_i})=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})$

• 设正整数m、n互素，则$\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)$。

欧拉定理

如果m和a是互素的正整数，则$a^{\varphi(m))}\equiv1(mod\ m)$。

证明 取$r_1,r_2,...,r_{phi(m)}$为模m的既约剩余系，故$ar_1,ar_2,...ar_{\phi(m)}$也是模m的既约剩余系。由于二者互为排列，因此有

　　　 $r_1...r_{\varphi(m)}\equiv ar_1..ar_{\varphi(m)}=a^{\varphi(m)}r_1..r_{\varphi(m)} \ \ (mod\ m)$

求欧拉函数的代码（利用第二个性质）

 

long long phi(long long n)
{
    long long ret=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            while(n%i==0)
            {
                ret-=ret/i;
                while(n%i==0)n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)ret-=ret/n;
    return ret;
}