线段树

线段树是一种万能数据结构，树状数组能够实现的，线段树基本都能实现。而且线段树有很多不同模板，适用于各种不同题型。

当数据范围接近 $nlogn$ 时，线段树是一个非常好的选择。

线段树的思想是：把需要维护的区间分成长度几乎相等的两段，再把这两段再分，有一种递归的意思。

一般的线段树每个区间都会有一个编号 $k$ ，则它左子区间的编号是 $k\ast 2$ ，右子区间的编号是 $k\ast 2+1$ ，这是为了方便写。

下面是示意图（有点臭）

模板题

我们先来讲讲最基本的求和操作。

这是需要建立的结构体。

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struct Segtree
{ int laz, tot, len; }tr[N << 2];
//tot表示这个区间的总和，len表示这个区间的长度，也可以不存len，存储左端点和右端点间接算出len。

$laz$ 是懒标记，是线段树复杂度优化的核心。这个稍后讲

首先递归建树。

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void build(int k, int l, int r)
{
	if (l == r)
	{ tr[k].tot = a[l]; tr[k].len = 1; return ;}//如果区间长度已经为1，那么讲这个位置上的初值赋给这个区间即可。
	int mid = l + r >> 1;
	build(k << 1, l, mid);//左儿子
	build(k << 1 | 1, mid + 1, r);//右儿子
	tr[k].tot = tr[k << 1].tot + tr[k << 1 | 1].tot;//左右合并
	tr[k].len = tr[k << 1].len + tr[k << 1 | 1].len;
}

接下来是修改。

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void update(int k, int l, int r, int x, int y, int p)
{
	if (x <= l && r <= y)
	{ tr[k].laz += p; tr[k].tot += tr[k].len * p; return; }//如果当前遍历到的区间被询问区间完全包含，那么直接返回整个区间的信息，不必继续递归这个区间
	pushdown(k);//下传懒标记
	int mid = l + r >> 1;
	if (x <= mid) update(k << 1, l, mid, x, y, p);//左端点递归条件及操作
	if (mid + 1 <= y) update(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, p);//右端点同上。
	tr[k].tot = tr[k << 1].tot + tr[k << 1 | 1].tot;
}

下面是询问操作。

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int query(int k, int l, int r, int x, int y)
{
	if (x <= l && r <= y)
	{ return tr[k].tot; }//当前区间完全被询问区间包含
	pushdown(k);
	int mid = l + r >> 1, res = 0;//res用于加上左区间和右区间的贡献
	if (x <= mid) res += query(k << 1, l, mid, x, y);
	if (mid + 1 <= y) res += query(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
	return res;
}

通过上面的操作可以知道，如果没有懒标记，那么单词修改和查询的复杂度是 $n$ 甚至更高，不如直接 $n^2$ 暴力修改查询，但是懒标记可以处理整个区间，这样可以保证单次修改或查询最多只累计 $logn$ 个区间的答案，再加上中途遍历的区间，也只有 $logn$ 级别（虽然常数有点大）。

对了，不要忘记下传懒标记。

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void pushdown(int k)
{
	tr[k << 1].laz += tr[k].laz; tr[k << 1].tot += tr[k << 1].len * tr[k].laz;
	tr[k << 1 | 1].laz += tr[k].laz; tr[k << 1 | 1].tot += tr[k << 1 | 1].len * tr[k].laz;
	tr[k].laz = 0;
}