树状数组进阶

树状数组是众多数据结构中常数较小，简单好写的，很多 ds 题都应该优先考虑树状数组。

接下来介绍树状数组的几种常见套路。

• 单点加，区间求和

• 区间加，单点查询

• 区间加，区间求和

• 二维树状数组，包括上面 \(3\) 个操作

• 单点修改，求全局 \(k\) 小值

• 求前驱，后继，排名等平衡树操作

单点加，区间求和

这是 $单点修改，区间求前缀$ 的模板

int lowbit(int x) { return x & (-x); }
void add(int x, int k)
{
	for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += k;
}
int query(int x)
{
	int res = 0;
	for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
	return res;
}

区间前缀和作差即可。

区间加，单点查询

考虑维护差分数组，求和时求的是差分数组，最后加上这个数原来的值即可。

区间加，区间求和

还是考虑差分数组。

记差分数组为 \(c_i\) ，原数组为 \(a_i\) ，则 \(a_i = a_{i-1} + c_i\) 。

\[\begin{aligned} \sum _ {i = 1} ^ n a_i &= \sum _ {i = 1} ^ n \sum _ {j = 1} ^ i c_i \\ &= \sum _ {i = 1} ^ n c_i \times (n - i + 1) \\ &= \sum _ {i = 1} ^ n c_i \times (n + 1) - \sum _ {i = 1} ^ n c_i \times i\end{aligned} \]

而我们不能够通过 \(\sum c_i\) 推出 \(\sum c_i \times i\) ，那么每次修改分别维护 \(\sum c_i\) 和 \(\sum c_i \times i\) 即可。

二维树状数组

其实是树状数组套树状数组，每行中 \(tr_n\) 的管辖范围是 \(\sum _ {i = n - lowbit(n) + 1} ^ n a_n\) 而行与行之间还有额外的管辖范围，不多赘述。

单点修改，求全局 \(k\) 小值

这里由于是全局，所以可以使用权值树状数组，值域过大的话离散化即可。

考虑倍增枚举区间长度，当前右端点 \(x\) 加上 \(2 ^ i\) ，若小于等于 \(x\) 的数超过或者等于 \(k\) ，就不加，否则 \(x\) 加上 \(2^i\) ， \(sum\) 加上 \(tr_{x + 2 ^ i}\) 。

\(i\) 从 \(log_2 n\) 枚举到 \(0\) ， \(x\) 和 \(sum\) 初始都为 \(0\) ，最后答案就是 \(x + 1\) 。

求前驱，后继，排名等平衡树操作

求排名，就是求出 \((\sum _ {i = 1} ^ {x - 1} tr_i) + 1\)

求前驱，可以先把 \(x\) 的排名算出来，再用刚才求 \(k\) 小值的方法求出 \(x\) 最后一个数量不为 \(0\) 的数。

求后继，还是先求 \(x\) 的排名，再求出第一个大于 \(x\) 且数量不为 \(0\) 的数。