CF1859F

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现有一棵大小为${10}^5$的有边权树和最多${10}^5$次询问，每次询问树上两点$u$到$v$需要的最短时间

与直接求路径长度不同的是，你的速度是可以变化的。你的初始速度$c=1$，在可以练习的地点，你可以花费时间$T$使得你的速度$c=c\times 2$，而你经过每条路径所需的时间为$\lceil \frac{w_i}{c}\rceil$。

易得以下三点

• 对于一组询问，你的移动路径有可能会经过重复的点
• 你一定只在第一个经过的可以练习的点进行练习
• 练习次数不会超过$\underset{i=1}{\overset{n}{max}}{w}_i$，答案不会超过$2\times {10}^9$

对于当前速度为$c=2^k$，在任意两点$u$，$v$之间移动所需时间，把这个值设为$di{s}_{u,v,k}$

我们首先可以倍增预处理一个点到他所有$2$的整数次方的父亲，然后在$lo{g}_{2}n$的时间内求出$di{s}_{u,v,k}$

如果我们的路径不是从$u$直达$v$，那么一定是从某个点离开路径练车，再由这个点返回路径

出发点为$u$，终点为$v$，假设我们从点$x$离开路径，在点$y$练车，我们所需要的时间就是

$$\underset{i=1}{\overset{20}{min}}(di{s}_{u,x,0}+di{s}_{x,y,0}+di{s}_{y,x,i}+di{s}_{x,v,i}+T\times i)ORdi{s}_{u,v,0}$$

后者我们可以直接求出，前者我们先用$BFS$维护出每个点$x$前往一个点练车$i$次然后回到该点的最小时间，把这个值设为$dis{s}_{x,i}$

可以对倍增中的每个区间$x$到他的往上第$2^y$个父亲，维护出

• $dis{1}_{x,y,i}$ = 从$x$出发，练了$0$次车，最后到达父亲$y$，练了$i$次车的最小时间
• $dis{2}_{x,y,i}$ = 从$x$的父亲$y$出发，练了$0$次车，最后到达$x$，练了$i$次车的最小时间

$$dis{1}_{x,0,i}=dis{2}_{x,0,i}=dis{s}_{x,i}$$

$$dis{1}_{x,y,i}=min(dis{1}_{x,y-1,i}+di{s}_{f_{x,y-1},y-1,i},di{s}_{x,y-1,0}+dis{1}_{f_{x,y-1},y-1,i})$$

$$dis{2}_{x,y,i}=min(dis{2}_{x,y-1,i}+di{s}_{f_{x,y-1},y-1,0},di{s}_{x,y-1,i}+dis{1}_{f_{x,y-1},y-1,i})$$

然后对每个区间都按照这个求一遍最小的距离，一定包含最优解

开$longlong$会mle，每个区间的答案对$2\times {10}^9$取$min$，时间复杂度$nlo{g}^{3}n$

进行前缀和优化可以达到$nlo{g}^{2}n$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pli pair<ll,int>
#define bi (1<<i)
using namespace std;
int dis[100005][18][21],diss[100005][21];
int dis1[100005][18][21],dis2[100005][18][21];
int fa[100005][18],dep[100005];
bool vis[100005],vs[100005];
vector<pii>e[100005];
int n;
ll t;
int add(int x,int y){
    return min((ll)2e9,(ll)x+y);
}
void dfs(int x,int f){
	vis[x]=1;
	fa[x][0]=f;
	dep[x]=dep[f]+1;
	for(int i=1;i<=20;i++){
		dis[x][0][i]=dis[x][0][0]>>i;
		if(dis[x][0][0]%bi)dis[x][0][i]++;
	}
	for(int i=1;i<=17;i++){
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
		for(int j=0;j<=20;j++)
			dis[x][i][j]=add(dis[fa[x][i-1]][i-1][j],dis[x][i-1][j]);
	}
    for(int i=0;i<=20;i++){
        dis1[x][0][i]=add(diss[x][i],dis[x][0][i]);
        dis2[x][0][i]=add(diss[f][i],dis[x][0][i]);
    }
    for(int i=1;i<=17;i++)
        for(int j=0;j<=20;j++){
            int f=fa[x][i-1];
            dis1[x][i][j]=min(add(dis1[x][i-1][j],dis[f][i-1][j]),add(dis[x][i-1][0],dis1[f][i-1][j]));
            dis2[x][i][j]=min(add(dis2[x][i-1][j],dis[f][i-1][0]),add(dis[x][i-1][j],dis2[f][i-1][j]));
        }
	for(auto u:e[x])
		if(!vis[u.first]){
			dis[u.first][0][0]=u.second;
			dfs(u.first,x);
		}
}
int lca(int u,int v){
	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
	for(int i=17;i>=0;i--)
		if(dep[u]-dep[v]>=bi)u=fa[u][i];
	if(u==v)return u;
	for(int i=17;i>=0;i--)
		if(fa[u][i]!=fa[v][i])
			u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	return fa[u][0];
}
ll sum(int u,int v,int m){
	ll cnt=0;
	int l=lca(u,v);
	for(int i=17;i>=0;i--){
		if(dep[u]-dep[l]>=bi)
			cnt+=dis[u][i][m],u=fa[u][i];
		if(dep[v]-dep[l]>=bi)
			cnt+=dis[v][i][m],v=fa[v][i];
	}
	return cnt;
}
ll qry(int u,int v){
    int l=lca(u,v);
    ll cnt[21],ans=sum(u,v,0);
    for(int i=0;i<=20;i++)cnt[i]=0;
    for(int i=17;i>=0;i--)
        if(dep[u]-dep[l]>=bi){
            int f=fa[u][i];
            for(int j=1;j<=20;j++)
                ans=min(ans,dis1[u][i][j]+sum(f,v,j)+cnt[0]+t*j);
            cnt[0]+=dis[u][i][0];
            u=fa[u][i];
        }
    for(int i=17;i>=0;i--)
        if(dep[v]-dep[l]>=bi){
            int f=fa[v][i];
            for(int j=1;j<=20;j++){
                ans=min(ans,dis2[v][i][j]+sum(f,u,0)+cnt[0]+cnt[j]+t*j);
                cnt[j]+=dis[v][i][j];
            }
            v=fa[v][i];
        }
    return ans;
}
void bfs(int x){
	priority_queue<pli,vector<pli>,greater<pli>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		diss[i][x]=1e18;
		if(vs[i]){
			q.push({0,i});
			diss[i][x]=0;
		}
	}
	while(!q.empty()){
		int now=q.top().second;
        ll d=q.top().first;
		q.pop();
		if(d>diss[now][x])continue;
		for(auto u:e[now])
			if(diss[u.first][x]>d+1+(u.second-1>>x)+u.second){
				diss[u.first][x]=d+1+(u.second-1>>x)+u.second;
                if(diss[u.first][x]>=2e9)continue;
				q.push({diss[u.first][x],u.first});
			}
	}
}
void solve(){
	scanf("%d%lld",&n,&t);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		vis[i]=0;
		e[i].clear();
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		e[u].push_back({v,w});
		e[v].push_back({u,w});
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;
		scanf("%1d",&x);
		vs[i]=x;
	}
	for(int i=0;i<=20;i++)
		bfs(i);
	dfs(1,0);
	int q;
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		printf("%lld\n",qry(u,v));
	}
}
int main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)solve();
	return 0;
}