Day1

D1.T1 AtCoder - agc018_d

题意：

\(N\) 个点的树，第 \(i\) 条边连接 \(A_i\) 和 \(B_i\)，边权为 \(C_i\)。由这棵树建一张图 \(G\)，图 \(G\) 中任意两个点都有边相连，且边权为树上这两点间简单路径长度。求图 \(G\) 的最长哈密尔顿路径。

题解：

事实上这类的树的问题，通常可以往树的直径 / 重心的角度去考虑。

当我们要求的是哈密顿回路的时候，我们可以从重心出发，在两颗子树中横跳，使得每条边的经过次数达到上限 \(sze_x\cdot(n-sze_x)\)。但是这回我们要求的是哈密顿路径，那么从重心相连的一条边中最短的删掉；如果有两个重心，那么一定要删掉它们之间的那条边。

有一个改版：如果是最短路径，那么就是 \(2\times\sum C_i - l\)，\(l\) 是直径长度。

时空：\(O(n)\)。评测记录：AC Submission。

D1.T2 AtCoder - agc041_d

题意：

构造一个值域为 \([1,N]\)，长度为 \(N\) 的单调不降序列 \(A\)。并且使得 \(\forall 1\leq k\leq N-1\)，都有任意 \(k\) 个数之和小于任意 \(k+1\) 个数之和。求构造方案数，对 \(M\) 取模。

题解：

上面这个条件等价于前一半的数小于等于后一半的数，因为 \(k>\frac{n}{2}\) 时可以消掉一些，成为 \(k<\frac{n}{2}\) 的情况；对于 \(k<\frac{n}{2}\) 的时候，显然只要最大的那一组成立，根据单调性，其他的也都成立了。

对于单调的数列，我们考虑差分。设 \(d\) 为 \(A\) 的差分数组，于是有 \(\sum\limits_{i=1}^nd_i\le n\)；还有的限制——不妨设 \(n=5\)，那么得：

\[d_1\times 3 + d_2\times 2 + d_3 > d_1\times 2+d_2\times 2 + d_3\times 2 + d_4\times 2 + d_5 \]

移项：

\[n-d_2-d_3-d_4-d_5 \le d_1 + 1 \le d_3+2\cdot d_4+d_5 \]

所以对于 fixed \(d\)，\(d_1\) 有右减左种取值，这个就可以 背包 统计了。复杂度：\(O(n^2)\)。

D1.T3 AtCoder - agc024_f

题意：

给定一堆 ( \(\le 1e6\)）长度小于等于 \(20\) 的 01数组，再询问一堆 ( \(\le 1e6\)）长度小于等于 \(20\) 的 01数组 在模式串中是多少个串的子序列（不需要连续）。

题解：

假设只有一个模式串和一个询问，那么我们可以结合子序列自动机设一个傻傻的 DP：设 \(f_{i,j}=1\) 表示前 \(i\) 能匹配到第 \(j\) 位......

假设只有一个询问，但是有多个模式串，那么我们考虑把 DP 中的 \(j\) 改成一个状压 \(S\) 的位表示模式串还剩下什么，就能一起转移了——转移中要使用子序列自动机，这要能保证唯一和最优。

假设有多个询问和多个模式，也就是原题：那么我们把 \(i\) 和 \(j\) 都改成状压就行了。

复杂度：\(O(n\cdot 2^n)\)，评测链接：TLE Submission (被卡常)。