（标题党）利益声明：本文标题纯粹胡扯请读者忽略。
I. PreFace
我们来看这样一题（虽然跟本文看起来没什么关系）：
给定序列 \(A\)，请在 \(O(n)\) 时间内求出如下式子：
\[\sum_{l=1}^n\sum_{r=l}^{n}\min_{l\le j \le r} A_j
\]
这个式子中最困难的理应是区间最小值这一项，倘若枚举 \(l,r\)，这个式子再怎么都是 \(O(n^2)\) 的。但是我们可以枚举这个最小值，对于每个位置看一看它在哪些区间中是最小值，然后就可以快速统计了。
你会发现这东西就好像是一个黎曼不可积的函数，它可能勒贝格可积；我们枚举的这个最小值就是在给 \(y\) “分段”，而寻找它在哪些区间中作为最小值其实就是在寻找它的 勒贝格测度 。
事实上，我们要求的这个式子其实就是一个三维上的分段函数，\(i\) 和 \(j\) 是自变量，\(\min\) 是函数值；尽管它黎曼不可积，但是它勒贝格可积。这就解释了为什么这么走行得通而直接枚举 \(i,j\) 行不通。（胡扯中）。
I. 正文
我们考虑把这个方法用到整除的偏序集上。来一个简单的例题：
\[f(n,m)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \gcd(i,j)
\]
让我们把它写成这样的形式（左边的函数值，右手边用条件的形式表示测度）：
\[f(n,m)=\sum_{d=1}^{\min(n,m)} d \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [\gcd(i,j) = d]
\]
用一个常用方法：\(\gcd=k\) 的时候把 \(i\)、\(j\) 除以 \(k\)，得到如下式子：
\[f(n,m)=\sum_{d=1}^{\min(n,m)} d \sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor} \varepsilon(\gcd(i,j))=\sum_{d=1}^{\min(n,m)} d \times g(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor, \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor)
\]
上面这个方法的意义在于，现在它可以用 \(1 * \mu = \varepsilon\) 了：
\[g(n,m)=\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^m\sum_{d|i, d|j} \mu(d)
\]
于是我们又可以把它写成这样的形式：
\[g(n,m) = \sum_{d=1}^{\min(n,m)} \mu(d) \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m = \sum_{d=1}^{\min(n,m)} \mu(d) \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor \times \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor
\]
这个式子已经可以 \(O(n)\) 求了。
III. Tricks
我们罗列一些方法、技巧、常见结论：
- \(id = \varphi * 1\)，例如上面那个 \(\gcd\) 的式子，我们一开始就不用直接把 \(\gcd\) 直接提出来，而是把它展开后提出来，这样可以省却很多测度中的条件：
\[f(n,m) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|i,d|j}\varphi(d)=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\varphi(d) \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor \times \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor
\]
-
\(\varepsilon = 1 * \mu\)，这个式子可以解决很多测度中遇到的条件式，即 \([a = b] = [\frac{a}{b} = 1]\)，这个的运用就很广泛了，所以不用举例。
-
给整除条件、\(\gcd\) 等的式子约分，比如下面这两个：
\[\sum_d\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[d|i,d|j]\times i \times j \times \gcd(i,j) = \sum_d d^3\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}ij\gcd(i,j)
\]
\[\sum_{i|n}\sum_{j|m}\sum_{x|i,x|j}d(x) = \sum_{x|n, x|m}d(x)\sum_{i|n}\sum_{j|m}[x|i, x|j] = \sum_{x|n, x|m}d(x) \sum_{i|\frac{n}{x}}\sum_{j|\frac{m}{x}}1 = \sum_{x|n,x|m}d(x)d(\frac{n}{x})d(\frac{m}{x})
\]
- 利用辗转相减的式子首尾相加，如下面两个式子：
\[\sum_{i=1}^n i [\gcd(i,n)=1] = \frac{n\varphi(n)}{2}
\]
\[\sum_{i=1}^n \frac{i\cdot n}{\gcd(i,n)} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{i=1}^{n-1} \frac{n^2}{\gcd(i,n)} +n
\]
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$ d(i\cdot j)=\sum\limits_{x \mid i}\sum\limits_{y \mid j}[\gcd(x,y)=1]=\sum\limits_{p \mid i,p \mid j}\mu(p)d\left(\frac{i}{p}\right)d\left(\frac{j}{p}\right)$，应用看这题：「SDOI2015」约数个数和。
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\(d = 1 * 1\)，\(\sigma = 1 * id\)，这个用于将含有这两个的式子展开来。
未完待续......
